实变函数与泛函分析论

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1、实变函数与泛函分析论文姓名许安琪专业数学与应用数学学号2013230407922016.10.24题目：勒贝格积分对比黎曼积分的优越性摘要：黎曼积分与勒贝格积分之间有许多的相同之处，而勒贝格积分比黎曼积分要优越许多，不仅是从它们的定义上看，本文从多种角度论述了黎曼积分与勒贝格积分的不同点与相似点，举出了很多的题目和例子，根据形象的对比得出了勒贝格积分比之黎曼积分的优越性。关键词：定义联系区别可积性正文：一、定义的区分：1.黎曼积分的定义：（1）区间的分割一个闭区间[a,b]的一个分割是指在此区间中取一个有限的点列a=x0

2、b。每个闭区间[xi,xi+1]叫做一个子区间。定义λ为这些子区间长度的最大值：λ=max(xi+1−xi)，其中0≤i≤n-1。再定义取样分割。一个闭区间[a,b]的一个取样分割是指在进行分割a=x0

3、y.appendChild(script);voidfunction(e,t){for(varn=t.getElementsByTagName("img"),a=+newDate,i=[],o=function(){this.removeEventListener&&this.removeEventListener("load",o,!1),i.push({img:this,time:+newDate})},s=0;s

4、&&e.addEventListener("load",o,!1):e.attachEvent&&e.attachEvent("onreadystatechange",function(){"complete"==e.readyState&&o.call(e,o)})}();alog("speed.set",{fsItems:i,fs:a})}(window,document);精细化分割：设x0,...,xn以及t0,...tn-1构成了闭区间[a,b]的一个取样分割，y0,...,ym和s0,...,sm-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤n

5、，都存在r(i)使得xi=yr(i)，并存在使得ti=sj，那么就把分割：y0,...,ym、s0,...,sm-1称作分割x0,...,xn、to,...,tn-1的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。（2）黎曼和对一个在闭区间[a,b]有定义的实值函数f，f关于取样分割x0,...,xn-1、t0,...,tn-1的黎曼和定义为以下和式：和式中的每一项是子区间长度x

6、i+1−xi与在ti处的函数值f(ti)的乘积。直观地说，就是以标记点ti到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。2.勒贝格积分的定义：设f(x)是E∈Lq(mE<∞)上的有界函数，则称f(x)∈L(E)，如果对任意ε>0，必然存在E的分划D，使S(D,f)-s(D,f)=ΣωimEi；这里S(D,f)及s(D,f）分别是f(x)关于分划D的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。varcpro_psid="u2572954";varcpro_pswidth=966;varcpro_psheight=120;由上述定义可以看出，勒贝格积分与

7、黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；后者是对函数定义域进行划分。对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻，他说：“假如我欠人家一笔钱，要还，此时按钞票的面值的大小分类，然后计算每一类的面额总值，再相加，这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类，而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数，那就是Riemann积分思想。”从理论实际上来说，黎曼积分定义下的函数类太小，而勒贝格积分就完美的解决了这一问题。二、勒贝格积分与黎曼积分的联系：而根据上述的定义可以看出，对于定义在某以特定区间[a,b]内的函数f（x），如果它是黎曼可积的，

8、则它必然也是勒贝格可积的，而且在这种情况下，它有相同的积分值。所以我们在平时的解题中，为方便起见，先考虑函数是否黎曼可积，