整体思想在数学解题中的应用

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1、整体思想在数学解题中的应用　　解决数学问题的思想和方法有许多种，比如方程和函数的思想方法、转化的思想方法、数形结合的思想方法、分类的思想方法等.这些方法对于一些问题能起到化难为易，化繁为简的作用.本文要说的是另一种数学思想方法――整体思想方法，在解决数学问题中的妙用.所谓整体思想，就是当我们遇到问题时，不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考虑问题的视角，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构、整体与局部的内在联系来解决问题的思想.有些问题若拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；若整体考虑，则畅通无阻、妙不可言.下面通过举例来说明整体思想在数

2、学解题中的应用.　　　　一、在代数问题中的应用　　　　例1已知a+1a=3,则a2+1a2=.　　　　解因为a+1a=3,所以(a+1a)2=9,　　　　即a2+2+1a2=9,所以a2+1a2=7.　　5　　评注本题若从局部入手，求出a的值，则需要解关于a的一元二次方程，而且解出的根也有两个，再将a的两个值代入到a2+1a2，不但繁难，而且容易出错.若分析清楚此题的结构后，把a+1a当成一个整体来看待，这个问题的解决就变得容易了.　　　　例2分解因式(a+b)(a+b-2ab)+(ab-1)(ab+1).　　　　解设a+b=m，ab=n,　　　　原式=m(m-2n)+(

3、n-1)(n+1)=(m-n)2-1　　　　=(m-n+1)(m-n-1)　　　　=(a+b-ab+1)(a+b-ab-1).　　　　评注本题若先化简以后再进行分解就显得有点繁，但若将a+b，ab分别看成一个整体，则使得待分解的式子在形成上得到简化，这样就可以迅速分解因式.　　5　　例3甲、乙两人从相距10千米的两地同时出发，相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带了一只小狗，狗每小时跑10千米，小狗随甲同时出发，向乙跑去；当它遇到乙后，就立即回头向甲跑去；遇到甲后，就立即回头向乙跑去，直到甲乙两人相遇狗才停住.求这条狗一共跑了多少路.　　　　解设甲、乙两人从出

4、发到相遇所用时间为x小时.根据题意列方程：6x+4x=100，　　解之得x=10.　　　　因此狗以10千米/时的速度跑了10小时，则它一共跑了10x=10×10=100(千米).　　　　答：从甲、乙两人出发到相遇狗一共跑了100千米的路程.　　　　评注本题如按常规解法，考虑“狗”的行程不仅图无法画出，且容易导致思路曲折复杂，无从下手.如果我们借助“整体思想”则轻而易举：要求狗的行程，已知狗的速度，只需知道狗奔跑的时间；而这时间也恰恰是甲乙二人所走完全程所用的时间.而求甲乙二人所走完全程所用的时间则变成一个相当简单的相遇问题.　　　　二、在几何问题中的应用　　　　例4在Rt

5、△ABC中，∠C=90°，若有a+b=5，c=4，则S△ABC=.　　　　解因为a+b=5,所以b=5-a,5　　　　所以S△ABC=12ab=12a(5-a)=12(5a-a2).　　　　又因为c=4,所以42=a2+(5-a)2,　　　　所以5a-a2=92.所以S△ABC=12(5a-a2)=94.　　　　评注我们要求的是12ab，但不一定要分别求出a、b的值.本题利用整体的思想求出5a-a2的值，从而求出12ab的值.　　　　例5已知Rt△ABC斜边AB的边长为52cm，两条直角边的差为12cm，求三角形的周长及斜边上的高.　　　　解如图1，设AC=xcm，BC=

6、ycm，则　　　　　　x-y=12,①　　　　x2+y2=254.②　　　　把①平方，得　　5　　x2-2xy+y2=14.③　　　　把②代入③得xy=3.　　　　所以(x+y)2=x2+2xy+y2=494,　　　　所以x+y=72.故周长为72+52=6.　　　　又因为S△ABC=12xy=12AB?CD,　　　　所以54CD=32,所以CD=65.　　　　评注本题设出了x，y但并不需要分别求出x、y的值，在这里把x-y、x+y当作整体看待，就使得解题更简捷明了.　　　　当然整体思想在数学解题中的应用，不仅仅局限于以上几种，还涉及到其他的各种题型.有了整体思想的意识，

7、在思考问题时才能使复杂的问题简单化，灵活恰当地运用整体思想，往往能帮我们走出困境.而只有通过不断地挖掘、归纳、提炼，才能更好地把握整体思想的本质和规律，才能使使问题迎刃而解.　　5