傅里叶变换的基本性质

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1、第七节傅里叶变换的基本性质主要内容：1.对称性质2.线性性质3.奇偶虚实性4.尺度变换性质5.时移特性时域卷积定理频域卷积定理6.频移特性7.时域积分性质8.时域微分性质9.频域微分性质10.帕塞瓦尔定理例1：1.对称性(互易对偶性)(时频对称性)例2：？例3其中，a1,a2为常数2.线性性则：3.奇偶虚实性意义(a)01时域压缩，频域扩展a倍。4.尺度变换特性（展缩特性）例：信号的持续时间与信号占有频带成反比结论：时域压缩，则频域展宽；时域展宽，则频域压缩。时移加尺度变换：5

2、.时移特性式中t0为任意实数注意：信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。书例3-2：求下列所示三脉冲信号的频谱。解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号由时移特性可得：其频谱如下：实偶信号的频谱为实偶已知双Sa信号试求其频谱。令（书P133）解：.由时移特性得到从中可以得到幅度谱为双Sa信号的波形和频谱如图（d）（e）所示。6.频移特性（调制定理）证明：由傅立叶变换定义有证明：书例3-4已知矩形调幅信号如图所示其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为，试求其频谱。解：G(t)矩形脉冲

3、的频谱为：根据频移特性：f(t)的频谱F(w)为（书P133）书例3-5：（书P134）注意“1”的作用利用频移定理求余弦信号的频谱。解一：解二：余弦信号及其频谱函数注意：周期信号也存在傅里叶变换7.时域积分特性证明方法一：书P.135证明方法二：利用卷积定理正向应用逆向应用应用：更常用时域积分性质应用举例：例1：(补充)解：直接套用性质用被积函数的傅氏变换来表示积分后的傅氏变换正向应用即：解：（书例3-7）用时域积分性质求y(t)的频谱求导逆向应用对所求函数先微分再表示成积分形式例1：易出错处：微分后再积分不一定等

4、于原函数！解：求导(2)（补充）例2：代入上式得：8.时域微分特性证明：书P.134正向应用逆向应用应用：（有条件）时域微分性质应用举例：正向应用：例1：（补充）解：用原函数的傅氏变换来表示微分后的傅氏变换直接套用性质直接套用性质即：例：？逆向应用：即：用微分后的傅氏变换来表示原函数的傅氏变换思考：为什么结果错误？例2（补充）：特别：所有的时限信号都满足上述条件。逆向应用条件:解：求导(2)逆向应用例3（补充）思考:能否用时域微分性质求y(t)的频谱?易出错处：逆向应用时域微分性质是有条件的已知三角脉冲信号求其频谱例

5、4（书例3-6）求导解一：用时域积分性质注意：微积分关系式成立的条件再求导逆向应用求导再求导解法二：用时域微分性质第一步：判断能否逆用逆向应用第二步：求出二阶导数的频谱F2(w).第三步：逆向用时域微分性质求f(t)的频谱F(w)：其幅频图解法一：用时域积分性质解法二：用时域微分性质思考：2、对分段线性的信号哪种是更普遍的方法？1、本例两种方法中哪种更简单？解法三：应用时域卷积定理至于微分几次要视实际情况来定2、逆向应用两性质的思想是相同的：1、正向应用时：直接套用公式，没有要注意的问题3、时域微分性质比时域积分性质

6、方便即微分后的傅氏变换易求，用它来表示原函数的傅氏变换时域积分和时域微分两性质的比较：证明:略思考：9.频域微分特性求单位斜变信号f(t)=tu(t)的频谱补充例1：解：求信号f(t)=t的频谱解：注意“1”的作用补充例2：频域积分特性：（用的少）10.帕塞瓦尔定理（Parserval定理）（补充）（能量守恒）（功率守恒）能量谱：功率谱：功率谱仅与幅度谱有关，与相位谱无关。能量谱仅与幅度谱有关，与相位谱无关。对能量有限信号: