三角函数的图象与性质

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1、三角函数的图象与性质！4.6三角函数的图象与性质（二）●知识梳理1.三角函数的图象和性质函数性质y=sinxy=cosxy=tanx定义域　值域　图象　奇偶性　周期性　单调性　对称性　注：读者自己填写.2.图象与性质是一个密不可分的整体，研究性质要注意联想图象.●点击双基1.函数y=sin（－2x）+sin2x的最小正周期是A.2π　　B.π　　C.　　D.4π解析：y=cos2x－sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=π.答案：B2.若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是A.sinx　　B.cosx　　C.sin2x　　D.cos2x解

2、析：检验.答案：B3.函数y=2sin（－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是A.［0，］　　　　B.［，］C.［，］　　　D.［，π］解析：由y=2sin（－2x）=－2sin（2x－）其增区间可由y=2sin（2x－）的减区间得到，即2kπ+≤2x－≤2kπ+，k∈Z.∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.令k=0，故选C.答案：C4.把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数____________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数____________的图象.解析：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得

3、图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（x+）.答案：y=sin（x+）y=sin（x+）5.函数y=lg（cosx－sinx）的定义域是_______.解析：由cosx－sinx＞0cosx＞sinx.由图象观察，知2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）.答案：2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）●典例剖析【例1】（1）y=cosx+cos（x+）的最大值是_______；（2）y=2sin（3x－）的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______.剖析：（1）y=cosx+cosx－sinx=cosx－sinx=（cosx－sinx）=sin（－x）.所以ym

4、ax=.（2）T=，相邻对称轴间的距离为.答案：　【例2】（1）已知f（x）的定义域为［0，1），求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域.剖析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角.解：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）.∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z｝.（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）.又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1.故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ

5、+），k∈Z｝.评述：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线.【例3】求函数y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x为何值时，y有最大值.剖析：将原函数化成y=Asin（ωx+）+B的形式，即可求解.解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4x－sin2xcos2x+cos4x）=1－3sin2xcos2x=1－sin22x=cos4x+.∴T=.当cos4x=1，即x=（k∈Z）时，ymax=1.深化拓展函数y=tan（ax+θ）（a＞0）当x从n变化为n+1（n∈Z）时，y的值恰好由－∞变为+∞，则a=_____

6、__.分析：你知道函数的周期T吗?答案：π●闯关训练夯实基础1.若函数f（x）=sin（ωx+）的图象（部分）如下图所示，则ω和的取值是A.ω=1，=　　　B.ω=1，=－C.ω=，=　　　D.ω=，=－解析：由图象知，T=4（+）=4π=，∴ω=.又当x=时，y=1，∴sin（×+）=1，+=2kπ+，k∈Z，当k=0时，=.答案：C2.f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，那么a的值等于A.4　　B.－6　　C.－4　　D.－3解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1.∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］.

7、∴f（x）的最小值为2×（－）+a+1=－4.∴a=－4.答案：C3.函数y=的定义域是_________.解析：－sin≥0sin≤02kπ－π≤≤2kπ6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）.答案：6kπ－3π≤x≤6kπ（k∈Z）4.函数y=tanx－cotx的最小正周期为____________.解析：y=－=－2cot2x，T=.答案：5.求函数f（x）=的最小正周期、最大值和最小值.解：f（x）===（1+sinxcosx）=sin2x