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《高等代数(北大版)第7章习题集参考答案解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第七章线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；2） 在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；3） 在P中，A；4） 在P中，A；5） 在P[]中，A；6） 在P[]中，A其中P是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，A。8） 在P中，AX=BXC其中B,CP是两个固定的矩阵.解1)当时,是;当时,不是。2)当时,是;当时,不是。3)不是.例如当,时,A,A,AA(。4)是.因取,有A=A===A+A，AA=A，故A是P上
2、的线性变换。5)是.因任取,并令则A=A===A+A，再令则AAA，故A为上的线性变换。6)是.因任取则.A=AA，AA。7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(Aa)=i,A(ka)kA(a)。8)是，因任取二矩阵，则A(A+A，A(k)=A，故A是上的线性变换。2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换,以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：A=B=C=E,ABBA,A
3、B=BA，并检验(AB)=AB是否成立。解任取一向量a=(x,y,z)，则有1)因为Aa=(x,-z,y),Aa=(x,-y,-z)，Aa=(x,z,-y),Aa=(x,y,z)，Ba=(z,y,-x),Ba=(-x,y,-z)，Ba=(-z,y,x),Ba=(x,y,z)，Ca=(-y,x,z),Ca=(-x,-y,z)，Ca=(y,-x,z),Ca=(x,y,z)，所以A=B=C=E。2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，所以
4、ABBA。3)因为AB(a)=A(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，BA(a)=B(x,-y,-z)=(-x,-y,z)，所以AB=BA。4)因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，AB(a)=(-x,-y,z)，所以(AB)AB。3.在P[x]中，AB，证明:AB-BA=E。证任取P[x]，则有(AB-BA)=AB-BA=A(-B(=-=所以AB-BA=E。4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：AB-BA=A(k>1)。证采用数学归纳法。当
5、k=2时AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2ª，结论成立。归纳假设时结论成立，即AB-BA=A。则当时，有AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+AA=A。即时结论成立.故对一切结论成立。5.证明：可逆变换是双射。证设A是可逆变换，它的逆变换为A。若ab，则必有AaAb，不然设Aa=Ab，两边左乘A，有a=b，这与条件矛盾。其次，对任一向量b，必有a使Aa=b，事实上,令Ab=a即可。因此
6、,A是一个双射。6.设,,,是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换。证明：A是可逆变换当且仅当A,A,,A线性无关。证因A(,,,)=(A,A,,A)=(,,,)A，故A可逆的充要条件是矩阵A可逆，而矩阵A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关，故A可逆的充要条件是A,A,,A线性无关.。7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1)第1题4)中变换A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；2)[o;,]是平面上一直角坐标系,A是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影
7、,B是平面上的向量对的垂直投影，求A,B,AB在基,下的矩阵；3)在空间P[x]中，设变换A为，试求A在基=(I=1,2,,n-1)下的矩阵A；4)六个函数=ecos,=esin，=ecos,=esin，=ecos,=esin，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间，求微分变换D在基(i=1,2,,6)下的矩阵；5)已知P中线性变换A在基=(-1,1,1),=(1,0,-1),=(0,1,1)下的矩阵是，求A在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；6)在P中，A定义
8、如下：，其中，求在基=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1)下的矩阵；1)同上，求A在,,下的矩阵。解1)A=(2,0,1)=2+，A=(-1,1,0)=-+，A=(0,1,0)=，故在基,，下的矩阵为。2）取=（1，0），=（0，1），则A=+，A=+，故A在基，下的矩阵为A=。又因为B=0，B=，所以B在基，下的矩阵为B=，另外，（AB）=A（B）=A=+，所以AB在基，下的矩阵为AB=。3）因为，所以A，A，A={}=，所以A在基,,,下的矩阵为A=
