坐标系与参数方程(知识点+选题)

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1、第一节　坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．2．极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点O(极点)，自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．图1(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(

2、ρ，θ)称为点M的极坐标．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．3．极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式ρ2＝x2＋y2tanθ＝(x≠0)4.圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)圆心为(r,0)，半径为r的圆ρ＝2rcos_θ圆心为，半径为r的圆ρ＝2rsin_θ(0≤0＜π)165.直线的极坐标方程(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R)．(2)直线l过点M(a,0)且垂直于极轴，则直线l的极坐标方程

3、为ρcosθ＝a.(3)直线过M且平行于极轴，则直线l的极坐标方程为ρsin_θ＝b(0＜θ＜π)．第二节　参数方程1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变

4、数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a>b>0)(φ为参数)温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：

5、t

6、是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．重点1坐标系与参数方程1．极坐标和直角坐标互化的前提条件是：16（1）极点与直角坐标系的原点重合；

7、[来源:Z+xx+k.Com]（2）极轴与直角坐标系的轴正半轴重合；（3）两种坐标系取相同的长度单位．设点的直角坐标为，它的极坐标为，则互化公式是或；若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨防漏解．2．消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法（包括集团代人法）、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价

8、性.3．参数方程的用途主要有以下几个方面：（1）求动点的轨迹，如果的关系不好找，我们引入参变量后，很容易找到与和与的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程.此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用．（2）可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能．（3）有些曲线参数方程的参变量有几何意义．若能利用参变量的几何意义解题，常会取得意想不到的效果．如利用直线标准参数方程中的几何意义解题，会使难题化易、繁题化简.[高考常考角度]角度1若曲线的极坐标方程为，以极

9、点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.解析：关键是记住两点：1、，2、即可.由已知为所求.角度2在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为（）A.2B.C.D.解析：极坐标化为直角坐标为，即.圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，即16，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式.故选D.角度3已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为.解：表示椭圆，表示抛物线联立得或（舍去），又因为，所以它们的交点坐标为[来源:学#科#网]角度4直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点

10、分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．点评：利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．解析：曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．角度5在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l