达朗贝尔公式-定解问题)

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1、§7.4达朗贝尔公式定解问题在常微分方程中，先不考虑任何的附加条件，从方程本身求出通解，通解一般含有任意常数，然后利用附加条件确定这些常数，偏微方程能否也如此呢？（一）达朗贝尔公式均匀弦的横振动，均匀秆的纵振动，理想传输线方程都有以下形式：即：（1）通解（1）对方程（1）我们作代换：（2）在这个代换下：问题的提出：1则方程（1）变为：我们把代换（2）写成：即在这代换下原方程化为：对于这个方程，就很容易求解了！先对积分：其中f是任意函数！再对积分得到通解：其中是任意函数.(3)(4)(5)2方程（5）就是偏微分方程（1）的通解，与常

2、微分方程不同的是通解中出现任意函数，而不是任意常数！通解（5）的物理意义：对于函数f2(x-at)来说，改用以速度a沿x轴正向移动的动坐标轴X,则新旧坐标和时间之间的关系此时有：与时间T无关，即函数图像在动坐标系中保持不变，是随着动坐标系以速度a沿x正方向移动的行波！同理，f1(x+at)是以速度a沿负方向移动的行波。上述通解中的函数可以用定解条件确定。假定弦，杆，传输线都是无限长的，则不存在边界条件。（2）函数与的确定波形的具体形状的确定3初始条件是：把初始条件代入通解得到：即解方程得代入通解方程即得满足初始条件的特解：（6）—

3、—达朗贝尔公式这是偏微分方程的定解4作为例子：（i）设初速度为零，即初始位移只在区间（x1,x2）不为零，在x=(x1+x2)/2达到最大值u0如图所示：达朗贝尔公式给出初始位移分为两半，分别向左右两方，以速度a移动（虚线），这两个行波的和所给出各个时刻的波形（实线）。如下图所示：5xt=0xt1xt2xt3xt4xt56（ii）设初始位移为零,即且初速度只在区间（x1,x2）上不为零此时达朗贝尔公式给出：这里指的是作出两个图形，让他们以速度a分别向左右两方移动，虚线所描述，他们的和（实线）就描画出各个时刻波形：x2x1x7t0x

4、t1xt2xt3xt4xt5xt6xt7xt8xx1x28在上图中，波已通过的地方，虽然振动消失，但偏离了原平衡位置！（二）端点的反射半无限长的弦具有一个端点，先考察端点固定的情况，即：初始条件里必须才有意义，因为x<0的区域弦不存在，更无初始条件！对于较迟的时间（t>x/a）达朗贝尔公式里失去意义，不能应用！我们可以把半无限长弦当作某根无限长弦的一部分，而此无限长弦的振动过程中，x=0必须保持不动！即无限长弦的位移9u(x,t)应当是奇函数，而无限长弦的初始位移和初始速度都应该是奇函数：这样我们就把从半无界区域奇延拓到整个无界区

5、间现在就可以利用达朗贝尔公式来求解无限长弦的自由振动，且的部分就是我们所考察的半无限长弦！初始条件代入上面的式子可以得到方程的解:10为了阐明上式的物理意义，描画了只有初始位移而没有初始速度的情况，最下一图右半边实线描出分别向左右两方移动的波，左半边用虚线描出奇延拓，奇延拓的波也分别向左右两方运动。此时，端点没有影响，各图按时间顺序描述了波的传播情况，x=0保持不动，端点的影响反映为反射波，而且此时反射波的相位根入射波相反，此所谓半波损失。11uxOt=0xt1xt2xt3xt4xt5xt6xt7xt8x开始反射12下面考察半无限

6、长杆的自由振动，端点自由，描述如下：同样可以把这根半无限长杆当做某无限长杆的的部分。此无限长杆在振动过程中，x＝0的相对伸长ux=0,即无限长杆的位移u(x,t)应当是偶函数，则无限长杆的初始位移和初始速度都是偶函数：把两个函数偶延拓到整个无限区间，可以应用公式！13应用达朗贝尔公式可得：把初始条件代入上式可得：这也是一种反射波，不同的是反射波的相位跟入射波相同，没有半波损失！14（三）定解问题是一个整体从偏微分方程求出达朗贝尔公式的过程，与常微分方程的求解过程是类似的，但绝大多数的偏微分方程很难求出通解，用定解条件确定待定函数更

7、加困难！从物理角度来说，问题的完整提法是在给定的定解条件下求解数学物理方程。但除了达朗贝尔公式等极少的例子，从数学的角度来讲，不可能先求偏微分方程的通解后在考虑定解必条件，须同时考虑方程本身和定解条件来求解！（和常微分方程不同!）不管是从物理的角度，还是数学的角度，定解问题都是一个整体！而不能割裂开。15（四）定解问题的适定性定解问题是从实际中来的，结果也要回到实际中去，则必须：(1)定解问题有解(2)解是唯一的(3)解是稳定的对于稳定来说，就是如果定解条件的数值有很小的改变，解的数值也只有很小的改变，处在可控的范围。因为实际测量

8、中，不可能绝对精确，来自实际问题的定解条件也不可避免的有误差，如果解不稳定，则可能理论分析与实际情况相差很远，没有实用价值！定解问题满足这三个条件，称为适定的！16以达朗贝尔公式的推导过程为例，如果（具有连续二阶导数的函数类）可以验证公式本身确实满