弹性力学 极坐标求解

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1、本章重点（1）掌握在极坐标系中基本方程的建立；（2）掌握极坐标系中平面问题按应力求解的方法；（3）了解极坐标系中与直角坐标系中的基本方程的相似之处和不同之处；（4）掌握用极坐标对圆环或圆筒均布压力、压力隧洞、圆孔孔口应力集中、半平面体在边界上受集中力或受分布力时的解答。第四章平面问题的极坐标求解9/1/202119/1/202124.1极坐标中的平衡微分方程1.建立模型在区域A的任一点P（ρ，φ），取出一个微分体，建立的坐标系如图4-1所示。图4-1第四章平面问题的极坐标求解2.正负符号的规定（1）在极坐标中，ρ从原点出发，以向外为正；而φ以x轴正向到y轴正向的转向为正；（2）应

2、力的表示和符号规定与直角坐标相同，仍以正面正向，负面负向的应力为正，反之为负；（3）微分体上的体力为和，表示于微分体的中心，分别沿径向和环向，以沿正坐标方向为正，反之为负。9/1/20213第四章平面问题的极坐标求解第四章平面问题的极坐标求解3.列平衡方程求解由可得由可得9/1/20214化简以上两式，由于微小，可以把另外在上式中，分别出现了一、二、三阶微量，其中一阶微量互相抵消，二阶微量保留，而将更高阶的三阶微量略去。化简可得：9/1/20215（4-1）第四章平面问题的极坐标求解4.直角坐标与极坐标比较1.在（4-1）的第一式中，前两项与直角坐标的相似；而项是由于正ρ面的面积

3、大于负ρ面而产生的，是由于正负φ面上的正应力在通过微分体中心的ρ方向有投影而引起的。2.在式（4-1）的第二式中，前两项也与直角坐标的相似；而是由于正ρ面面积大于负ρ面而产生的；是由于正负φ面上的切应力在通过微分体中心的φ方向有投影而引起的。由于我们仍将这两个切应力只作为一个未知函数处理。69/1/2021第四章平面问题的极坐标求解4.2极坐标中的几何方程及物理方程1.几何方程的推导（1）建立坐标系在区域内任取一点P（ρ，φ）作两个沿正标向的微分线段PA=dρ和PB=ρdφ，图4-2所示。9/1/20217图4-2第四章平面问题的极坐标求解推导几何方程分为两步：一步考虑只有径向位

4、移的情形；第二步再考虑只有环向位移的情形。（2）微分体只发生径向位移设变形后，P点的位移分量为则A点相对于P点，要计入由于坐标增量而引起的增量，位移分量应为B点相对于P点，要考虑由dφ而引起的增量，位移分量应为，如图4-2（a）所示。9/1/20218第四章平面问题的极坐标求解第四章平面问题的极坐标求解又由于图4-2（a）中的β角很小，以，于是。由此，我们得到：PA线段的线应变，转角α=0；PB线段的线应变，转角：注：是极坐标中才有的，表示由于径向位移而引起的环形线段的伸长应变。9/1/20219（3）微分体只发生环向位移微分线段变形后成为，。变形后P点的环向位移，由于坐标的增量

5、的位移分别为和见图4-2（b）。同样考虑PA的转角α是微小的，我们可以得出：PA的线应变：转角：9/1/202110第四章平面问题的极坐标求解PB的线应变：转角：需要说明的是：是由于环向位移而引起的环向线段的转角。因为变形前的环向线切线垂直于OP，而变形后的环向线切线垂直于，这两切线的转角应等于圆心角。并且，这个转角使原直角APB增大，按切应变的定义应为负值。这项也是在极坐标中才有的。9/1/202111第四章平面问题的极坐标求解（4）结论当径向和环向位移同时发生时，在几何线性问题中；可以应用叠加原理而得极坐标中的几何方程：9/1/202112（4-2）与直角坐标中的几何方程相比

6、，除了上述指出的两项是极坐标中特有的之外，其余的几项都是相似的。第四章平面问题的极坐标求解2.极坐标系中的物理方程在直角坐标系中，物理方程是代数方程，且其中x与y坐标线为正交。而在极坐标系中ρ与φ坐标线也为正交，因此，极坐标中的平面应力问题的物理方程可以相似地得出：9/1/202113（4-3）第四章平面问题的极坐标求解3.说明（1）对于平面应变问题，同样只需将式（4-3）中的E，μ换为：，，即可得出平面应变问题的物理方程。（2）极坐标中的边界条件，由于边界面通常均为坐标面，即ρ面（ρ=常数）或φ面（φ=常数），使边界的表示十分简单，所以边界条件也十分简单。例如，给定的约束条件通

7、常是径向位移值和环向位移值，可以分别与建立等式。在应力边界条件中，通常给出径向和切向的面力，也可以直接与对应的应力分量建立等式。9/1/202114第四章平面问题的极坐标求解4.3极坐标中的应力函数与相容方程1.直角坐标系和极坐标系之间的变换关系（1）坐标变量的变换反之（2）函数的变换只需将坐标变换式（a）或式（b）代入函数即可。9/1/202115（a）（b）第四章平面问题的极坐标求解（3）位移（矢量）的变换9/1/202116设位移矢量为d，它在（x，y）和（ρ，φ）坐标系中