金融风险管理的理论与实践第10章

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1、2021/9/14第二部分：基石BuildingBlock2021/9/142第10章更加深入地，即从随机分析（StochasticCalculus）角度，讨论了市场变量的运动规律。这对深入学习和掌握非线性头寸的VaR计算是十分有益的。这一章的主要目的之一是解释期权头寸的VaR计算，并给出了对包含有期权头寸的投资组合的VaR的计算，还较为深入地介绍了Black-Scholes期权定价公式的相关议题。2021/9/14第10章:非线性头寸的风险值度量VaRMeasureforNon-linearPositions2

2、021/9/14410.1非线性头寸的风险度量10.1.1ItoLemma10.1.2Black-Scholes期权定价公式10.1.3风险中性定价10.1.4鞅和测度10.1.4.1风险的市场价格10.1.4.2微分方程形式10.1.4.3鞅10.1.4.4测度10.1.4.5等效鞅测度10.1.4.6货币市场账户作为基准10.1.4.7零息票债券价格作为计价基准10.1.5期权头寸的希腊字母10.1.5.1裸露的与有“顶”的头寸10.1.5.2Delta-套期保值10.1.5.3THETA10.1.5.4GA

3、MMA10.1.5.5泰勒级数展开和套期保值参数10.2非线性头寸风险值的险阵求解方法10.2.1解析方法10.2.2结构化蒙特卡洛模拟10.3将Vp,t矩匹配到Johnson分布族10.3.1非线性头寸（期权）10.3.2包含有期权的投资组合的Delta-Gamma方法10.4非线性头寸的计算实例10.5里森的跨式期权（非线性头寸）10.6评价Delta-Gamma方法的准确性2021/9/14510.1非线性头寸的风险度量当市场变量（市场比率，简称比率，是指如汇率、利率或股价的回报）与头寸价值之间的关系是非线

4、性时，则不能简单地用“所估计比率的变化”乘以“头寸对比率变化的灵敏度”；因为后者不再是一常数，这即是非线性头寸的定义。在前面的例子中，可以方便地估计固定收入或外汇产品的风险，这是由于假定了金融工具的价值与它标的变量之间存在线性关系。但是在处理非线性头寸（如含期权头寸）时，就不那么合理了。期权头寸价值与标的市场变量之间的非线性关系可以由以上的图10-1和图10-2非常形象地得以说明。在图10-1中，尽管市场变量是正态分布的，但看涨期权多头价值的概率分布却不是正态，而是呈单偏的。图10-2给出的是看涨期权空头价值的概

5、率分布。期权是一种非常特殊的金融工具，它与表8.1所列出的其他工具的最大不同是它的定价公式是基于对随机微分方程的求解，即著名的Black-Scholes-Merton期权定价公式。期权是金融创新中最重要和最普遍的形式。任何现代的金融工具都可以认作反映了一定的相机（或有）支付。本书反复强调过，VaR风险管理机制是面向金融工具，而面向金融工具，可以等价地认为就是面向期权。2021/9/14610.1.1ItoLemma要了解期权定价原理，即Black-Scholes-Merton期权定价公式，就必须了解著名的ItoL

6、emma（Ito引理）。假定已知x所服从某个随机过程，Ito引理告诉我们关于x和t的某个函数G(x,t)所遵循的随机过程。如果随机变量x服从一般维纳过程（或Ito过程），即：dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz(10-1)式中，dz为一维纳过程，且a和b为x和t的函数。变量x有漂移率a和方差率b2。Ito引理告诉人们x和t的函数G(x,t)所遵循的随机过程为。(10-2)式中，dz是与(10-1)式一样的维纳过程。因此，G(x,t)也服从Ito过程，其漂移率和方差率为：；(10-3)假定股票价格服从以下的随机

7、过程（在11章中还将给出股价随机过程的详细描述）：dS=mSdt+sSdz(10-4)假定f是关于S的看涨期权（或其他的衍生相机权力）的价格，则f必定为S和t的某一函数。从上式有：(10-5)；2021/9/147如果采用离散的形式，式(10-4)和式(10-5)可以写成：(10-6)式中，Df和DS为f和S在一个很小的时段Dt中的变化。求解式(10-6)的思想是消去其中的维纳过程，使之成为一个一般的微分方程。由于f和S所基于的维纳过程是相同的，所以可以构造一个关于股票和衍生品的投资组合来消去它。这一合适的组合为

8、：–1：衍生品：股票即这一投资组合的持有者，持有1个单位的衍生品的空头，和f/S单位的股票的多头。设P为这一组合的价值。由定义有：P=–fS(10-7)且有DP=–DfDS(10-8)将式(10-6)代入式(10-8)，可以消去维纳过程Dz。从而得到：2021/9/148DP=(10-9)由于在式(10-9)中不包括Dz，这一投资组合在Dt的时段中必定是无风险的。这一