数学思想方法介绍

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1、《数学思想与数学文化》数学思想方法介绍内容一.前言二.中学数学中常用的数学方法三.几类常用的数学思想方法介绍1.演绎法或公理化方法2.类比法3.归纳法与数学归纳法4.数学构造法5.化归法6.数学模型方法附：参考文献一.前言☆数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。☆数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析

2、，以形成解释、判断和预言的方法。☆二者关系---数学思想直接支配着数学的实践活动。数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。◆数学方法具有三个基本特征：（1）高度的抽象性和概括性；（2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；（3）应用的普遍性和可操作性。◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：（1）提供简洁精确的形式化语言；（2）提供数量分析及计算的方法；（3）提供逻辑推理的工具。数学研究的基本方法◆数学抽象方法◆数学模型方法◆数学研究活

3、动的一般方法数学中的逻辑方法◆数学定义方法◆逻辑划分方法◆数学公理化方法数学解题的思维方法◆数学推理方法（演绎法、归纳法、类比法）◆分析法与综合法◆数学实验方法◆数形结合方法◆关系影射反演原则（换元法、初等变换方法）二.中学数学中常用的数学方法数学证明的重要方法◆反证法与同一法◆数学归纳法中学数学中几种常用的具体方法◆待定系数法◆配方法◆基本量法◆递推法有人这样给数学思想方法分类：1.操作性思想方法例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法等；2.逻辑性思想方法例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等；3.策略性思想

4、方法例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与系统等。事实上，数学思想方法是有层次的。操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的角度上看，层次是逐渐上升的。三.几类常用的数学思想方法介绍1.演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据是三段论。☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。☆公理化方法的例子：欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》柯尔莫哥洛夫《概率论基础》ZF

5、C《公理化集合论》2.类比法（数学创造发现的方法）☆类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上相似。☆三个层次：描述、说理、数学上的类比。☆数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。★例子：1）线段、三角形、四面体2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式3）同态与同构4）数的概念的扩充5）多项式理论与整数理论的类比整数＋、－、×带余除法算术基本定理多项式＋、－、×带余除法代数基本定理3.归纳法（逻辑学中

6、的方法）与数学归纳法（数学中的一般方法）☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。归纳法用于猜测和推断。例子：1)Fermat数(1640年，Fn=22n+1,Fermat素数：3，5，17，257，65537)；2)Goldbach猜想（1742年）。☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题，如果（1）P(n)当n=1时成立；（2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也

7、成立。那么P(n)对任意自然数n都成立。这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。数学归纳法用于证明。例子：证明数列单调增加有上界。，，。数学思想方法介绍(续)《数学思想与数学文化》之第三讲——4．数学构造法（基本数学方法）☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式经有限步骤能够定义或实现的方法。☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、命题等。☆构造法在数学中的地位不仅古老，而且重要。☆例子1）求一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)

8、的根。2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。3）勾股定理（毕氏定理）。宋刻本《周髀算经》，（上海图书馆藏）第24届“国际数学家大会”会标例子：4）导数的概念。5）定积分的概念。练习：1.求证在任何两个有理数a和b之间一定还有有理数。2.有没有2000个连续自然数，它们都是合数？3.证明：素数的个数是无穷的。4.求证：对于