定积分的几何应用(面积和弧长)

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1、利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?表示为一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“分割,近似代替,求和,取极限”定积分定义一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“分割,近似代替”求出局部量的微分表达式第二步利用“求和,取极限”求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值第二节一、平面图

2、形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右下图所示图形面积为OO例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点O例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有O例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积O例4.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:O2.极坐标情形求由曲线及围

3、成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为O对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:到2所围图形面积.O心形线例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线O心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停尖点:面积:弧长:参数的几何意义例7.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积例8.求双纽线所围图形面积.解:利用对称性,则所求面积为思考:用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积.答案:O二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长

4、度之和趋向于一个确定的极限,则称此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)例9.两根电线杆之间的电线,由于其本身的重量,成悬链线.求这一段弧长.解:下垂悬链线方程为例10.计算摆线一拱的弧长.解:例11.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面

5、曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.解：2.求曲线所围图形的面积.显然面积为同理其他.又故在区域分析曲线特点3.解:与x轴所围面积由图形的对称性,也合于所求.为何值才能使与x轴围成的面积等故4.求连续曲线段解:的弧长.