指数运算和指数函数

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时间:2018-11-19

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1、-指数运算和指数函数一、知识点1.根式的性质(1)当n为奇数时,有(2)当n为偶数时,有(3)负数没有偶次方根(4)零的任何正次方根都是零2.幂的有关概念(1)正整数指数幂:(2)零指数幂(3)负整数指数幂(4)正分数指数幂(5)负分数指数幂(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义3.有理指数幂的运算性质(1)(2)(3)4.指数函数定义:函数叫做指数函数。5.指数函数的图象和性质01图象性质定义域R值域(0,+∞)定点过定点(0,1),即x=0时,y=1(1)a>1,当x

2、>0时,y>1;当x<0时,00时,01。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性和关于y轴对称-二、指数函数底数变化与图像分布规律(1)①②③④则:0<b<a<1<d<c又即:x∈(0,+∞)时,(底大幂大)x∈(-∞,0)时,(2)特殊函数的图像:三、指数式大小比较方法(1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较.(2)中间量法(3)分类讨论法(4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为:①若;;;②当两

3、个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断,或即可.四、典型例题类型一、指数函数的概念例1.函数是指数函数,求的值.【答案】2【解析】由是指数函数,可得解得,所以.举一反三:【变式1】指出下列函数哪些是指数函数?(1);(2);(3);(4);(5);(6).【答案】(1)(5)(6)-【解析】(1)(5)(6)为指数函数.其中(6)=,符合指数函数的定义,而(2)中底数不是常数,而4不是变数;(3)是-1与指数函数的乘积;(4)中底数,所以不是指数函数.类型二、函数的定义域、值域例2.求下列函数的

4、定义域、值域.(1);(2)y=4x-2x+1;(3);(4)(a为大于1的常数)【答案】(1)R,(0,1);(2)R[);(3);(4)[1,a)∪(a,+∞)【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切xR,3x≠-1).∵,又∵3x>0,1+3x>1,∴,∴,∴,∴值域为(0,1).(2)定义域为R,,∵2x>0,∴即x=-1时,y取最小值,同时y可以取一切大于的实数,∴值域为[).(3)要使函数有意义可得到不等式,即,又函数是增函数,所以,即,即,值域是.(4)∵∴定义域为(-∞,-1)∪[

5、1,+∞),又∵,∴,∴值域为[1,a)∪(a,+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性;第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件,第(4)小题中不能遗漏.-举一反三:【变式1】求下列函数的定义域:(1)(2)(3)(4)【答案】(1)R;(2);(3);(4)a>1时,;01时,;0

6、【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性,根据所给的同底指数幂的大小关系,结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3.讨论函数的单调性,并求其值域.【思路点拨】对于x∈R,恒成立,因此可以通过作商讨论函数的单调区间.此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果.【答案】函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数(0,3]【解析】解法一:∵函数的定义域为(-∞,+∞),设x1、x2∈(-∞,+∞)且有

7、x1<x2,∴,,.(1)当x1<x2<1时,x1+x2<2,即有x1+x2-2<0.又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)<0,则知.又对于x∈R,恒成立,∴.∴函数在(-∞,1)上单调递增.-(2)当1≤x1<x2时,x1+x2>2,即有x1+x2-2>0.又∵x2-x1>0,∴(x2―x1)(x2+x1―2)>0,则知.∴.∴函数在[1,+∞)上单调递减.综上,函数在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数.∵x2―2x=(x―1)2―1≥-1,,.∴函数的值

8、域为(0,3].解法二:∵函数的下义域为R,令u=x2-2x,则.∵u=x2―2x=(x―1)2―1,在(―∞,1]上是减函数,在其定义域内是减函数,∴函数在(-∞,1]内为增函数.又在其定义域内为减函数,而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1,+∞)上是增函数,∴函数在[1,+∞)上是减函数.值域的求法同解法一.【总结升华】由本例可知,研究型的复合函数的单调性用复合法,比用定义法要简便些,一般地有:即当a>1时,的单调性与的单调性相同;当0<a<1时,的单调与的单调性相反.举一

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