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1、小波变换在图像处理中的应用赵壮南京理工大学作者:赵壮学号：312042248学院(系):电子工程与光电技术学院专业:光学工程题目:小波变换在图像处理中的应用任课老师：韦志辉、刘红毅2012年11月评分：14小波变换在图像处理中的应用赵壮摘要：本文主要讲述了小波变换的基本概念、多分辨率分析与Mallat算法以及小波变换在数字图像处理中的应用。这些应用主要包括去噪、压缩、融合，使用Matlab编写程序验证了这些算法的有效性。1小波变换的概念14小波变换在图像处理中的应用赵壮1.1小波变换的提出在经典的信号分析理论中,傅里叶变换是应用
2、最广泛、效果最好的一种分析手段。但它只是一种纯频域的分析方法,不能提供局部时间段上的频率信息。随后的短时傅里叶变换STFT,虽然可以同时分析时域和频域信息,但是由于STFT的固定时窗,对于分析时变信号是不利的。这是因为时变信号中的高频一般持续时间很短,而低频持续时间比较长,所以都希望对高频信号采用大的时窗,对低频信号采用小的时窗进行分析。小波变换正是在这样的背景下发展起来的。小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，1986年著名
3、数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的统一方法--多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，具有良好的时频局部化特性，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多分辨率分析（Multi-ResolutionAnalysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。小波变换是一种窗口大小固定不变,但其形状
4、可以改变的局部化分析方法。小波变换在信号的高频部分可以取得较好的时间分辨率;在信号的低频部分,可以取得较好的频率分辨率,从而能有效地从信号(如语音、图像等)中提取信息。小波变换分为以下两种：连续小波变换和离散小波变换。1.2连续小波变换引言中提到的短时傅里叶变换(STFT),其窗口函数是通过函数时间轴的平移与频率限制得到的,由此得到的时频分析窗口具有固定的大小。对于非平稳信号而言,需要时频窗口具有可调的性质,即要求在高频部分具有较好的时间分辨率特性,而在低频部分具有较好的频率分辨率特性。为此,特引入窗口函数,并定义平方可积分函数
5、的连续小波变换为:14小波变换在图像处理中的应用赵壮式中:a称为尺度参数;b称为平移参数很显然,并非所有函数都能保证式(1)中的变换对于所有均有意义;另外,在实际应用中,尤其是信号处理以及图像处理的应用中,变换只是一种简化问题、处理问题的有效手段,最终目的需要回到对原问题的求解,因此还要保证连续小波变换存在逆变换。同时,作为窗口函数,为了保证时间窗口与频率窗口具有快速衰减特性,经常要求函数Ψ(x)具有如下性质：式中：C为与x，ω无关的常数；ε>0。连续小波变换具有以下性质：（1）线性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量小波变换
6、之和。（2）平移不变性：若f(t)的小波变换为Wf(a,b)，则f(t-τ)的小波变换为Wf(a,b-τ)。（3）伸缩共共变性：若f(t)的小波变换为Wf(a,b)，则f(ct)的小波变换为。（4）自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b之间的连续小波变换之间是自相似的。（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余。1.3 离散小波变换在实际应用中小波变换必须得加以离散化，尤其是在使用计算机对数字信号进行处理时。离散小波变换针对尺度参数a、平移参数b进行离散化,最常用的是二进制动态采样网络,每个网格点对应的尺度为2j,平移
7、为2jk,即：该离散化小波称为二进制小波。14小波变换在图像处理中的应用赵壮二进制小波对信号的分析具有变焦距的作用。假定一开始选择一个放大倍数,它对应为观测信号的某部分内容。如果想进一步观看信号的更小细节,则需要提高放大倍数,即减小j值。在这个意义上讲,小波变换被称为数学显微镜。2多分辨率分析与Mallat算法Y.Meyer于1986年构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成了L2(R)的规范正交基，才使得小波得到了真正的发展，1988年S.Mallat在构造正交小波基时，提出了多分辨率分析(Multi-Resol
8、utionAnalysis)的概念，从空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率特性，将以前所有的正交小波基的构造方法都统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变换的快速算法，Mallat算法。2.1多分辨率分析多分辨率分析又称多尺度分析，随着尺度由大到小的变
