直线一级倒立摆建模

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1、一、直线一级倒立摆建模1、微分方程的推导对于倒立摆系统，经过小心假设忽略掉一些次要因素后，倒立摆系统就是一个典型的刚体运动系统，可以在惯性坐标系统内应用景点力学理论建立系统的动力学方程。微分方程的推导：在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图1所示.图1做如下假设：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数L摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑带摆杆初始位置为竖直向下）图2图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车

2、和摆杆的相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，所以矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量的正方向。分析小车水平方向所受合力，可以得到方程：（式1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：=（式2、式3）将式3代入式1可得系统第一个运动方程：（式4）为了推出系统第二个运动方程，对摆杆垂直向上的合力进行分析可得方程：=（式5式6）力矩平衡方程如下：（式7）式中：合并式6、式7得第二个运动方程：（式8）设q=p+f（f是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设f与1（单位是弧度）相比很小，即f<<1，则

3、可以进行近似处理：用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：（式9）对式(3-9)进行拉普拉斯变换（推导传递函数时假设初始条件为0。）：（式10）整理后得到传递函数：（式11）其中：2、状态空间方程设系统状态空间方程为：（式12）方程组对解代数方程，得到解如下：（式13）整理后得到系统状态空间方程：（式14）3、实际系统模型假定系统物理参数设计如下：M小车质量1.08Kgm摆杆质量0.1Kgb小车摩擦系数0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3mI摆杆惯量0.0027Kg*m*m将上述参数带入，可以得到以外界作用力作为输入

4、的系统状态方程：二、对象的性能分析1、分析系统的单位阶跃响应：a=[0100;0-0.09148490.6896550;0001;0-0.23457726.89660]b=[0;0.914849;0;2.34577]c=[1000;0010]d=[0;0]a=01.0000000-0.09150.689700001.00000-0.234626.89660b=00.914802.3458c=10000010d=00利用传递函数得到如下响应曲线[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)num=0-0.00000.91480.0000-22.988

5、60-0.00002.3458-0.00000den=1.00000.0915-26.8966-2.29890step(num,den)从图上可知其阶跃响应不稳定。1、分析系统的极点可见4个极点有一个位于右半平面，故该系统不稳定。2、分析系统的能控性：系统可控。三、性能指标设定四组性能指标分别对照比较：性能指标1：=20%t=2s非主导极点：-10-10性能指标2：=20%t=2s非主导极点：-10-15性能指标3：=25%t=2s非主导极点：-10-10性能指标4：=20%t=2.2s非主导极点：-10-10四、过程设计性能指标1：=20%t=2s

6、运用超调量计算公式得=0.456=4.386其主导极点==配置两个非主导极点利用matlab求取状态反馈矩阵K：p=[-2+3.903j-2-3.903j-10-10];k=acker(a,b,p)k=-83.6651-34.2330129.028423.5430实际超调量为9%调整时间为3.2秒性能指标2：=20%t=2s运用超调量计算公式得=0.456=4.386其主导极点==配置两个非主导极点-10-15利用matlab求取状态反馈矩阵K：p=[-2+3.903j-2-3.903j-10-15];k=acker(a,b,p)k=-125.497

7、7-47.1162175.184030.6990实际超调量为7%调整时间为3.2秒性能指标3=25%t=2s运用超调量计算公式得=0.420=4.756其主导极点==配置两个非主导极点利用matlab求取状态反馈矩阵K：p=[-1.9977+4.316j-1.9977-4.316j-10-10];k=acker(a,b,p)k=-98.3910-37.1581136.175424.6819实际超调量为8.5%调整时间为3.3秒性能指标4=20%t=2.2s运用超调量计算公式得=0.456=3.987其主导极点==配置两个非主导极点利用matlab求取

8、状态反馈矩阵K：p=[-1.818+3.548j-1.818-3.548j-10-10];k=acker(a