机械093-彭栋-微积分与极限思想.doc

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1、2010-2011-2校选课《数学文化》课程论文微积分与极限思想学院（部）：机械工程学院专业：机械大类学生姓名：彭栋班级：机械093学号09405700328任课教师姓名：刘东南职称讲师最终评定成绩2011年5月校选课《数学文化》课程论文摘要微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果。极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，借助极限思

2、想，人们可以从直线认识曲线，从静止认识运动，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变。关键词：微积分学；极限理论；极限思想一、微积分的基本介绍微积分英文名：Calculus微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。极限和微积分的概念可以追溯到古代。到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的

3、实数理论，这门学科才得以严密化。微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学个分支中，有越来越广泛的应用。特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。微积分学是微分学和积分学的总称。客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十

4、分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。二、极限与微积分的关系校选课《数学文化》课程论文学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在Δ区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认

5、为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。这个概念是成功的。极限思想始终贯穿于整个微积分的始终，微积分中的几乎所有的概念都离不开极限。如：连续，导数，定积分的定义，级数的敛散性等。微积分学是一门研究无限的动态学科，而无限的研究结果正是依赖极限思想，通过有限的研究方法得到的。只要真正掌握了极限思想，整个微积分学就容易学习，并能取得较高的理论水平。三、微积分的基本内容本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的

6、同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。微积分是与应用联系着发展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。一元微分定义：设函数y=f

7、(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在此区间内。如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)可表示为Δy=AΔx0+o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy=AΔx。通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数y=f(x)的微分又可记作dy=f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。几何意义校选课《数学文化》课

8、程论文设Δx是曲线y=f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当

9、Δx

10、很小时，

11、Δy－dy

12、比

13、Δy

14、要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来