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1、对勾函数f(x)=ax+的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)=b/x“叠加”而成的函数。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”。如下图所示：a>0b>0a<0b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，
2、f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：对勾函数的图像（ab异号）当x>0时，。当x<0时，。即对勾函数的定点坐标：(一)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域
3、、值域等性质。(二)对勾函数的单调性yXOy=ax(三)对勾函数的渐进线由图像我们不难得到：(四)对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对勾函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：1、求函数的最小值。解：令，则根据对勾函数在（1，+∞）上是增函数及t的取值范围，当时y有最小值。此时x=-1.2、求函数的单调区间，并求当时函数的最小值。解：令t=sinx,对勾号函数在（0，）上是减函数，故当时sinx是增函数，所以在上是减函数。同理，在上是增函数，由于函数是奇函数，所以函数在上是减函数，在上是增函数，由周期性，函数在每一个区间上是减函数，在每一个区间上是减函数；函数在每一个
4、区间上是增函数，在每一个区间上是增函数。当时，当t=1时即时y有最小值3。20(本小题12分)已知函数f(x)=.(1)在a>0时求f(x)的单调区间(不必写过程);(2)若a>0,x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0,
5、xi
6、>(i=1,2,3),求证:f(x1)+f(x2)+f(x3)>2.解：整理得：f(x)=ax+(1)当a£0时,f(x)的减区间为(−¥,0)和(0,+¥);当a>0时,f(x)的减区间为(−,0)和(0,),增区间为(−¥,−)和(,+¥)………5分(2)证明:由条件知：x1,x2,x3中至多一个负数.………6分(ⅰ)若x1,x2,x3都为正数,由(1)可
7、知
8、xi
9、>时,f(
10、xi
11、)>f()=2(i=1,2,3)f(x1)+f(x2)+f(x3)>6>2………9分(ⅱ)若x1,x2,x3中有一负数,不妨设x3<0.∵x2+x3>0且
12、x3
13、>,x2>−x3>f(x2)>f(−x3)=−f(x3)(∵f(x)为奇函数)f(x2)+f(x3)>0f(x1)+f(x2)+f(x3)>f(x1)>f()=2………12分综上,f(x1)+f(x2)+f(x3)>2.………13分
