单调性与最大（小）值（）.doc

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1、1.3.1单调性与最大（小）值（2）（一）教学目标：1．知识与技能：掌握函数的最大（小）值的概念及其几何意义，体会求函数最值是函数单调性的应用之一。2．过程与方法：根据函数的单调性和函数图象，形成函数最值的概念，并会用函数的单调性求解函数最值问题。3．情感态度与价值观：在形成最值的概念过程中培养学生数形结合思想。（二）教学重点：理解函数最大（小）值的定义及最值的求法。（三）教学难点：如何求具体函数的最大（小）值。（四）教学过程：复习引入：前面我们学习了函数的单调性.在此基础之上我们再来看函数f(x)=x2.可以发现f(x)在(–∞，0)上是减函

2、数，即对于(–∞，0)上的任意x，f(x)≥f(0)=0；f(x)在[0，+∞）上是增函数，即对于[0，+∞）上的任意x值，都有f(x)≥f(0)=0，也即（0，0）点是函数f(x)=x2的图像上的一个最低点。当一个函数的图像上有最低点时，我们就说这个函数有最小值。所以函数f(x)=x2有最小值0（当x=0时）。而观察函数f(x)=x的图像知它无最低点，所以函数f(x)=x无最小值。（此处是为说明函数不一定都有最小值）再来看函数f(x)=-x2（可由学生分析），同理可知，对于任意的实数x，都有f(x)≤f(0)，即（0，0）是函数f(x)=-x

3、2的一个最高点，此时我们说函数f(x)=-x2有最大值0.（此即为课本30页思考题）这就是我们本节课要学的函数的最大（小）值。新知讲授：对于任意函数y=f(x)，不妨设f(x0)为函数y=f(x)的最大值，即对于y=f(x)定义域内任意的x值，都有f(x)≤f(x0).问：这里f(x)≤f(x0)说明什么?意味着什么?答：说明f(x0)作为函数的最大值，必须满足：1）.x0在函数y=f(x)的定义域内；2）.f(x0)是整个定义域上函数值最大的（最大值也是函数值）。这时我们就说f(x0)是函数y=f(x)的最大值。由此我们给出函数最大值的定义：

4、一般地，设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：（1）对于I内任意的x，都有f(x)≤M。——存在性.（2）在I内存在x0，使得f(x0)=M。——确定性.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值。（此处要强调最大值是特别的函数值，具备存在性和确定性。）问：函数的最小值该如何定义?（提问学生，由学生作答——由最大值定义类比最小值定义）一般地，设函数y=f(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：（1）对于I内任意的x，都有f(x)≥M。——存在性.（2）在I内存在x0，使得f(x0)=M。——确定性.那么，我们称M是函数y=f(x)的

5、最小值。问题：（1）函数最大小值的几何意义是什么？（最高（低）点的纵坐标。）（2）函数y=-x在（1，+∞）上有最大值吗？为什么？（3）点（1，-1）是函数y=-x在（1，+∞）上的最高点（即最大值）吗？由（1）（2）（3）你得到什么启示？答案：（师生共同探讨得出）讨论函数的最大（小）值，应坚持定义域优先原则。函数图像上有最高（低）点时，这个函数才存在最大（小）值。最高（低）点必须是函数图像上的点，即满足确定性。例题讲解：例1（课本例4）已知函数y=(x[2，6])，求函数的最大值和最小值。分析：由函数y=(x[2，6])的图象可知，函数y

6、=在区间[2，6]上递减.所以，函数y=在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解：设x1，x2是区间[2，6]上的任意两个实数，且x1＜x2，则f(x1)–f(x2)===.由2≤x1＜x2≤6，得x2–x1＞0，(x1–1)(x2–1)＞0，于是f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2).所以，函数y=是区间[2，6]上是减函数。因此，函数y=在区间[2，6]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即在x=2时取得的最大值，最大值是2，在x=6时的最小值，最小值是0.4.注：此例可由学生板演，教师作适当指引。此例也也告诉我

7、们一种求函数最值的方法：先判断函数的单调性，再利用单调性求最值。变式训练：（1）求函数f(x)=-x2+2x+5在[-3，6]上的最值（2）课本练习5。（解略，强调定义域优先原则）例2（课本例3）“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=–4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）?解析：此例即实际情况下二次函数求最值问题。由图像可知，函数图像的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标（表示时间）就

8、是烟花爆炸的最佳时刻，而对应纵坐标（表示高度）就是这时距地面的高度。对于二次函数h(t)=–4.9t2+14.7t+18，有当t==1.5时，函数有最