数据资料与拟合模型

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1、§3.2数据资料与拟合模型数据资料是数学模型与实际问题接轨的重要途径和手段，有时还可以直接从数据资料中发现规律组建模型。数据分析和处理是统计学研究的主要内容，也是计算数学的工作领域，近年来随着计算机科学的发展，对“海量”数据的分析形成了一门新的交叉学科“数据挖掘”。这一章仅介绍用统计学的最小二乘法构造拟合数据模型，以及用计算数学的函数插值方法处理数据解决实际问题。一.数据资料与数学模型1数据资料数据资料是在实际问题中收集到的观测数值，是组建数学模型的重要依据和检验数学模型的重要标准。数据获取年鉴报表、学术刊物、网络资源、实验观测等

2、等数据误差观测数据中一般都包含有误差。正确对待和处理这些误差是数学建模中不可回避的问题.系统误差：偏差，来自于系统，有规律，可避免。随机误差：无偏，来自随机因素，无规律，不可免2.资料与模型10.数据资料可以直接应用于数学模型的组建。对于情况较复杂的实际问题（因素不易化简，作用机理不详）可直接由数据寻找简单的因果变量之间的数量关系，从而对未知的情形作预报。这样组建的模型为拟合模型。在统计学中有大量的利用数据组建的模型：判别模型、主成分模型、聚类模型、因子模型、趋势面模型、时间序列模型等。2°模型的设计、参数估计都依赖于现有的和可能

3、获得的数据资料。当数据资料不全时，数值分析的插值技术就将发挥作用。如信号和图像处理领域就广泛应用插值技术。二.拟合模型拟合模型的组建是通过对有关变量的观测数据的观察、分析，选择恰当的数学表达方式得到的。拟合模型主要是探讨变量间的内在规律，分析的数据具有明显的随机误差。模型侧重于选择规律的简单的数学表达。在简单的数学表达式中选择拟合效果好的。因此，在数据拟合的精度和数学表达式简化程度之间要取一个折中。折中方案的选择将取决于实际问题的需要。例4.1人口预测1949年—1994年我国人口数据资料如下：年份xi49545964697479

4、848994人口数yi5.46.06.77.08.19.19.810.311.311.8建模分析我国人口增长的规律,预报1999、2005年我国人口数。建模分析步骤：1.在坐标系上作观测数据的散点图。2.根据散点分布的几何特征提出模型3.利用数据估计模型的参数4.计算拟合效果散点图模型I人口线性增长模型，假设：人口随时间线性地增加，模型：y=a+bx参数估计6观测值的模型：yi=a+bxi+ei，i=1,…,n拟合的精度:Q=åei2=å(yi-a–bxi)2,误差平方和。最小二乘法：求参数a和b，使得误差平方和最小。可以算出：a

5、=–1.93，b=0.146模型：y=–1.93+0.146x,拟合精度Q1=0.2915模型II人口自然增长模型,模型y=aebx等价形式lny=lna+bx设数据满足lnyi=lna+bxI+ei应用最小二乘法,求a和b使得Q=Siei2=Si（lnyi-lna+bxi）2最小计算得到a=2.33b=0.0177,因此y=2.33e0.0177x拟合精度Q=0.7437(注意此时的随机误差ei不设在y坐标方向)拟合曲线讨论模型I与模型II拟合结果比较xi49545964697479848994yi5.46.06.77.08.1

6、9.19.810.311.311.8yi5.245.976.707.438.168.909.6210.3611.0911.82ei10.160.030.00-0.43-0.060.200.18-0.060.01-0.02yi5.556.066.627.237.908.649.4410.3111.2612.31ei2-0.15–0.060.08–0.230.200.460.36–0.01–0.13–0.51Siei1=0.01Siei2=0.37Q1=0.2915Q2=0.7437结论1.与指数模型相比较，线性模型更适合中国人口的增

7、长。2.预报：1999年模型I12.55亿，模型II13.43亿3.人口白皮书：2005年13.3亿，2010年14亿模型I2005年13.43亿，2010年14.16亿模型II14.94亿，16.33亿注意：线性最小二乘法模型：y=bx，数据精度：估计：模型：y=a+bx，数据：精度：6估计：模型：y=b1x1+b2x2，数据：精度：估计：模型：y=a+b1x1+b2x2，数据：精度：估计：3.可化简的非线性最小二乘法10.y=a+b1f1(x)+b2f2(x)+…+bnfn(x)，令ui=fi(x),则有y=a+b1u1+…+

8、bnun.20.y=aebx.令z=lny,则有z=lna+bx=a*+bx.30.y=axb.令z=lny,u=lnx,则有z=lny=lnａ＋blnx=a*+bu40.y=1/(a＋bx)，令z=1/y,则有z=1/y=a+bx.50.y=x/