2013年考研数学二试题与答案解析

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1、word资料下载可编辑2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设,,当时,()(A)比高阶的无穷小(B)比低阶的无穷小(C)与同阶但不等价的无穷小(D)与是等价无穷小【答案】(C)【考点】同阶无穷小【难易度】★★【详解】,,即当时,,,即与同阶但不等价的无穷小,故选(C).2、已知由方程确定,则()(A)2(B)1(C)-1(D)-2【答案】(A)【考点】导数的概念;隐函数的导数【难易度】★★【详解

2、】当时,.方程两边同时对求导,得将,代入计算,得专业技术资料word资料下载可编辑所以,,选(A).3、设,,则()(A)为的跳跃间断点(B)为的可去间断点(C)在处连续不可导(D)在处可导【答案】(C)【考点】初等函数的连续性;导数的概念【难易度】★★【详解】,,,在处连续.,,,故在处不可导.选(C).4、设函数,若反常积分收敛,则()(A)(B)(C)(D)【答案】(D)【考点】无穷限的反常积分【难易度】★★★【详解】由收敛可知,与均收敛.,是瑕点,因为收敛,所以专业技术资料word资料下载可编辑,要使其收敛,则所以,,选D.5、设,其中函数可

3、微,则()(A)(B)(C)(D)【答案】(A)【考点】多元函数的偏导数【难易度】★★【详解】,,故选(A).6、设是圆域位于第象限的部分,记,则()(A)(B)(C)(D)【答案】(B)【考点】二重积分的性质;二重积分的计算【难易度】★★【详解】根据对称性可知,.(),()因此,选B.7、设A、B、C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则()(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价(B)矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价专业技术资料word资料下载可编辑(C)矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

4、【答案】(B)【考点】等价向量组【难易度】★★【详解】将矩阵、按列分块,,由于,故即即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.由于B可逆,故,A的列向量组可由C的列向量组线性表示,故选(B).8、矩阵与相似的充分必要条件是()(A)(B)为任意常数(C)(D)为任意常数【答案】(B)【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】★★【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵,它们相似的充要条件是有相同的特征值.由的特征值为2,,0可知,矩阵的特征值也是2,,0.专业技术资料word资料下载可编辑因此,将代入可知,矩阵的特征值为2,,0.此时,两矩阵相似,与的

5、取值无关,故选(B).二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、.【答案】【考点】两个重要极限【难易度】★★【详解】其中,故原式=10、设函数,则的反函数在处的导数.【答案】【考点】反函数的求导法则;积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】由题意可知,专业技术资料word资料下载可编辑.11、设封闭曲线的极坐标方程方程为,则所围平面图形的面积是.【答案】【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】面积12、曲线上对应于点处的法线方程为.【答案】【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】

6、★★★【详解】由题意可知,,故曲线对应于点处的法线斜率为.当时,,.法线方程为,即.13、已知,,是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件,的解为.【答案】专业技术资料word资料下载可编辑【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】,是对应齐次微分方程的解.由分析知,是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为,为任意常数.由,可得,.通解为.14、设是3阶非零矩阵,为A的行列式,为的代数余子式,若,则.【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】★★★【详解】等式两边取行列式得或当时,(与已知矛盾)所以.三、解答题:1

7、5~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)当时,与为等价无穷小,求和的值.【考点】等价无穷小;洛必达法则【难易度】★★★【详解】专业技术资料word资料下载可编辑故,即时,上式极限存在.当时,由题意得16、(本题满分10分)设D是由曲线,直线及轴所围成的平面图形,,分别是D绕x轴,y轴旋转一周所得旋转体的体积,若,求的值.【考点】旋转体的体积【难易度】★★【详解】根据题意,.因,故.17、(本题满分10分)设平面区域D由直线,,围成,求【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度

8、】★★【详解】根据题意,故专业技术资料word资料下载可编辑18、(本题满分10分)设奇函数在上具有二阶导数

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