初二讲义 角平分线的判定与性质

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1、...第7讲角平分线的判定与性质【知识点与方法梳理】角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线的作法（尺规作图）①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；③过点P作射线OP，射线OP即为所求．角平分线的性质及判定1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．推导已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥O

2、M，PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB......几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．2角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．推导：已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△PBO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平

3、分线上．几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）......【经典例题】例1．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，ACDEBF求证：CF=EB例2.已知：如图，AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE相交于O点求证：O在∠C的平分线上例3.如图AB∥CD，∠B＝90°，E是BC的中点。DE平分∠ADC，求证：AE平分∠DAB。例4.已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上

4、一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．......【经典练习】1如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO＝∠CAO2.如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连结DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论。FEDCBAOP3.如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等（写出作法）。ODCBA4.要将如图中的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OA＝OB

5、，过A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为MON的平分线，试说明这样做的理由.......5.如图△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FCAEBDCF6.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是28，AB＝8cm，AC＝6cm，求DE的长．7、已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB；（2）猜想AM与DM的位置关系如何？并证

6、明你的结论．【巩固练习】基础训练题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）A.m+nB.mnC.D.......2.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可以是（）A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C3、如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。其中能够证明△DOF≌△EOF的条

7、件的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，在ΔABC中，,分别是AB、AC上的点，EF=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD⊥BC于D，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,已知PD=4cm则ΔPEF的周长是___________cm.5.如图（7）：AC⊥BC，BM平分∠ABC且交AC于点M，N是AB的中点且BN=BC。求证：（1）MN平分∠AMB，（2）∠A=∠CBM。6.如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D。求证：点D在∠A的平分线上。7.如图8、AB＝CD，△PCD的面积等于△PAB的面积，求证：O

8、P平分∠BOD。......8.如图9、在△ABC中