双曲线的几何性质

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时间:2018-11-20

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1、掌握双曲线的简单的几何性质.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.掌握直线与双曲线的位置关系.2.3.2双曲线的简单几何性质【课标要求】【核心扫描】双曲线的几何性质的理解和应用.(重点)与双曲线离心率,渐近线相关的问题.(难点)经常与方程、三角、平面向量、不等式等内容结合考查学生分析问题的能力.1.2.3.1.2.3.双曲线的几何性质自学导引标准方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)图形性质焦点______________________________________焦距_________范围

2、x

3、≥a,y∈R

4、y

5、≥a,x∈R对称

6、性关于x轴、y轴、原点对称顶点______________________________________轴长实轴长=___,虚轴长=___离心率e=___(e>1)渐近线________________续表F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)

7、F1F2

8、=2cA1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)2a2b试一试:尝试用a,b表示双曲线的离心率.(2)顶点:双曲线与它的对称轴的交点叫双曲线的顶点,双曲线只有两个顶点,相应的线段叫实轴,实轴长为2a.而虚轴长为2b,且a2+b2=c

9、2.特别地当2a=2b时的双曲线叫等轴双曲线,方程为x2-y2=a2或y2-x2=a2.名师点睛把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.①当b2-a2k2=0时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线C相交于一点.②当b2-a2k2≠0时,Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交;Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线相切;Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离.注意:直线和双曲线只有一个公共点时,直线不一定与双曲线相切,当直线与双曲线的渐近线平行时,

10、直线与双曲线相交,只有一个交点.题型一已知双曲线的标准方程求其几何性质求双曲线16x2-9y2=-144的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.[思路探索]可先把方程化成标准方程,确定a,b,c,再求其几何性质.【例1】规律方法已知双曲线的标准方程确定其性质时,一定要弄清方程中的a,b所对应的值,再利用c2=a2+b2得到c,从而确定e.若方程不是标准形式的先化成标准方程,再确定a、b、c的值.求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率.【变式1】[思路探索]可设出双

11、曲线的标准方程,依题意建立待定参数的方程或方程组求解.题型二根据双曲线的几何性质求标准方程【例2】规律方法根据双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法.首先,由已知判断焦点的位置,设出双曲线的标准方程,再用已知建立关于参数的方程求得.当双曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求得.如本题中已知渐近线方程ax+by=0,可设所求双曲线方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0)非常简捷.【变式2】训练655、双曲线定义的应用8、中位线定

12、理的应用审题指导本题主要考查直线与双曲线的位置关系、向量知识及方程思想的应用.题型三直线与双曲线的位置关系【例3】【题后反思】直线与双曲线相交的题目,一般先联立方程组,消去一个变量,转化成关于x或y的一元二次方程.要注意根与系数的关系,根的判别式的应用.若与向量有关,则将向量用坐标表示,并寻找其坐标间的关系,结合根与系数的关系求解.【变式3】[错解]假设存在m过B与双曲线交于Q1、Q2,且B是Q1Q2的中点,当m斜率不存在时,显然只与双曲线有一个交点;当m斜率存在时,设m的方程为y-1=k(x-1),误区警示忽略判别式的限制致误【示

13、例】对于圆、椭圆这种封闭的曲线,以其内部一点为中点的弦是存在的,而对于双曲线,这样的弦就不一定存在,故求出k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点.[正解]假设存在直线m过B与双曲线交于Q1、Q2,且B是Q1Q2的中点,当直线m的斜率不存在时,显然只与双曲线有一个交点;当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y-1=k(x-1),关于中点的问题我们一般可以采用两种方法解决:(1)联立方程组,消元,利用根与系数的关系进行设而不解,从而简化运算解题;(2)利用“点差法”,求出与中点、斜率有关的式子,进而求解.不管应用何种方法我们都必

14、须注意判别式Δ的限制.单击此处进入活页规范训练

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