人教版必修5教案解三角形应用举例（一)测量距离

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1、第4课时1.2应用举例（一）第一章解三角形§1.2应用举例（第一课时）【创设情景引入新知】“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出α,β的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.B天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。【探索问题形成概念】上述问题是一个实际测量问题，求解实际测量问题一般要

2、充分理解题意，正确做出图形，将实际问题里的已知条件转换成三角形中已知的边和角，将其所求转换成三角形中未知的边和角，建立数学模型并利用所学知识来求解.测量不可到达的两点之间的距离问题主要有：（1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决；（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，再把求三角形的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离问题，然后运用正弦定理解决.【例题】【例题】如图1.2－1，设A、B两点在河的两岸，要测量两

3、点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m).【思路】所求的边AB的对角是已知的，又已知三角形的一边AC,根据三角形内角和定理可计算出边AC的对角，根据正弦定理，可计算出边AB.【解答】根据正弦定理，得≈65.7(m)答:A、B两点间的距离为65.7米.【反思】解决此类实际问题的关键是建立数学模型，画出示意图是将其转换为解三角形问题的关键，再利用正弦定理、余弦定理等有关的三角形知识去解决.【例题】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间

4、距离的方法.【思路】将AB放在△ABC中研究，设法求出△ABC的其它量，用例题一的方法，计算出AC、BC，再测∠BCA的大小，用余弦定理计算出AB.【解答】测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得AC==BC==计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB=【反思】在处理三角形问题时，灵活运用两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最

5、佳的计算方式。思考请同学们想一想，还有没有别的测量方法？在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如例1中的AC，例2中的CD.在测量过程中要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度。一般来说，基线越长，测量的精确度越高.此外在解与三角形有关的实际问题时，还需要准确理解和把握应用题中有关名称和术语，常用的有：1、铅垂平面：与海平面垂直的平面.2、仰角和俯角：在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角；当视线在水平线之上时称为仰角，当视线在水平线以下时称为俯角，如图①3、方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如图②4、方向角：从指

6、定方向线到目标方向线的水平角.例如：南偏西60°，指以正南方向为始边向西旋转60°，如图③.5、坡角：坡面和水平平面所成二面角；坡度指的是坡角的正切值.【解疑释惑促进理解】难点一、由实际测量距离问题抽象为三角形问题由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解是本节课的难点.解决实际测量问题的过程要认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量

7、与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【例题】某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？【思路】由题意准确做出图形，在ABC中利用余弦定理求得角C，再在MAC中，利用正弦定理求得MC，由MB=MC-BC即可求

8、出汽车还需行驶的距离。【解答】由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。