信号正交分解

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1、WORD格式..可编辑信号空间：将信号看做空间里的向量内积：（jiang2）内积为0—正交范数：（jiang3）http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%AD%A3%E4%BA%A4http://zlgc.usx.edu.cn/jsjy/kc/xhyjs/chap6/chap6_1/chap6_1_1.htm第一讲信号的正交分解    把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。一方面，信号的分解使我们能了解它的性质与特征，有助于我们从中提取有用的信息，这一点，在信号的傅里叶变换中就已经体现出

2、来了。另一方面，把信号分解之后，可以按照我们的意愿对它进行改造，对于信号压缩、分析等都有重要的意义。    信号分解的方法有很多。例如，对一离散信号，我们可把它分解成一组函数的组合，即，式中，。但这种分解无实用意义，因为的权重即是信号自己。另一种分解的方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”，也就是专业知识整理分享WORD格式..可编辑按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号自己的各个分量，也无太大意义，但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。    一般，我们可把信号看成N维空间中的的

3、一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。N可以是有限值也可以是无穷大。设是由一组向量所张成，即这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。如果它们线性独立，我们则称它们为空间中的一组“基”。各自可能是离散的，也可能是连续的，这视而定。这样，我们可将按这样一组向量作分解，即    (6-1-1)式中是分解系数，它们是一组离散值。因此，上式又称为信号的离散表示（DiscreteRepresentation）。    如果是一组两两互相正交的向量，则（6-1-1）式称为的正交展开（或正交分解）。分解系数是在各个基向量上的投影。若

4、N=3，其含意如图6-1-1所示。专业知识整理分享WORD格式..可编辑图6-1-1信号的正交分解为求分解系数，我们设想在空间中另有一组向量：，这一组向量和满足：（6-1-2）这样，用和（6-1-1）式两边做内积，我们有，即：    (6-1-3a)或    (6-1-3b)(6-1-3a)式对应连续时间信号，(6-1-3b)式对应离散时间信号。    (6-1-3)式称为信号的变换，其结果是求出一组系数；（6-1-1）式称为信号的“综合”，或反变换。称为的“对偶基”，或”倒数（Reciprocal）基”。（6-1-2专业知识整理

5、分享WORD格式..可编辑）式的关系称为“双正交（biorthogonality）”关系（或双正交条件）。在此须特别指出的是，双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性。但每一组向量之间并不一定具有正交关系，如图6-1-2所示，在二维空间中，并不是正交的，也不是正交的，但是，，即两组基向量满足双正交关系。图6-1-2两组二维向量的双正交关系如果一组基向量的对偶向量即是其自身，也即，……，，那么这一组基向量构成了N维空间中的正交基。    若空间中的任一元素都可由一组向量作（6-1-1）式的分解，那么我们称这一组向量是“完备

6、（Complete）”的；如果是完备的，且是线性相关的，那么，由（6-1-1））式表示必然会存在信息的冗余，并且其对偶向量将不会是唯一的。这时，我们称构成空间的一个“标架(Frame)”。有关标架的概念可以进一步参考有关书籍。    若是完备的，且是线性无关的，则是中的一组基向量，这时，存在且唯一，即存在（6-1-2）式的双正交关系。前已述及，若是完备的，且，则是中的正交基，其对偶向量就是自身。    （6-1-1）式又可写为(6-1-4)专业知识整理分享WORD格式..可编辑这样，可以看作在基向量上的投影。另外，此式又可写成(6

7、-1-5)    即基向量和其对偶向量是可以互相交换的，一个用作“分解”，一个用于“综合”，反之亦然。    给定一组基向量，要实现对信号的分解，第一步是要求出的对偶基向量。由于和是都是空间中的基向量，所以可表示为的线性组合，即，用对两边作内积，有。由（6-1-2）式的关系，该式应等于。令，则，有。    显然，若为一正交基，则为单位阵，从而也为单位阵，对应则有。    现在，我们对（6-1-1）以及（6-1-4）式的信号分解给以简单的物理解释:和对偶基向量的内积，即，反映了信号和之间的相似性。和越接近，则越大。因此，（6-1-5

8、）式的运算可以想象为用一把尺子去“度量”信号，这把“尺子”由所组成，各个分量专业知识整理分享WORD格式..可编辑可以看作是尺子上的刻度，所以是和相比较所产生的“度量”，即权重。显然，刻度越细，“度量”效果越好。所以，对信号分解时，基函数的选择非常