线性代数习题集参考答案解析

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1、第一章行列式§1行列式的概念1.填空(1)排列6427531的逆序数为,该排列为排列。(2)=,=时,排列1274569为偶排列。(3)阶行列式由项的代数和组成,其中每一项为行列式中位于不同行不同列的个元素的乘积,若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列,那么列标构成一个元排列。若该排列为奇排列,则该项的符号为号;若为偶排列,该项的符号为号。(4)在6阶行列式中,含的项的符号为,含的项的符号为。2.用行列式的定义计算下列行列式的值(1)解:该行列式的项展开式中,有项不为零,它们分别为,所以行列式的值为。(2)解:该行列式展开式中唯一不可能为0的项是,而它的逆序数是,故行

2、列式值为。3.证明:在全部元排列中,奇排列数与偶排列数相等。证明:元排列共有个,设其中奇排列数有个,偶排列数为个。对于任意奇排列,交换其任意两个元的位置,就变成偶排列,故一个奇排列与许多偶排列对应,所以有,同理得,所以。1.若一个阶行列式中等于0的元素个数比多,则此行列式为0,为什么?2.阶行列式中,若负项的个数为偶数,则至少为多少?(提示:利用3题的结果)3.利用对角线法则计算下列三阶行列式(1)(2)§2行列式的性质1.利用行列式的性质计算系列行列式。(1)(2)(3)1.证明下列恒等式(1)(提示:将行列式按第一列分解为两个行列式之和,再利用性质证明)(2)(3)

3、(提示:从最后一列起,后列的倍加到前一列)1.已知四阶行列式D的第三行元素分别为:;第四行元素的对应的余子式依次是2,10,,4,求的值。2.已知1365,2743,4056,6695,5356能被13整除,证明:能被13整除。(提示:注意观察行列式中第2,3,4,5列元素的特点)3.已知,求:(1);(2)和。(提示:利用行列式按行(列)展开的性质计算)1.设,求的根。解1:首先,行列式展开式中含项,所以有四个根。而通过观察,将代入行列式,行列式中均有两行元素相同,此时行列式值为0,即为根。然后,把所有列加到第一列上,可发现第四个根,计算如下:解2:(注意各行元素之和

4、相等,可计算的值后,求根。)§3行列式的计算1.利用三角行列式的结果计算下列阶行列式(1)(提示:注意各行(列)元素之和相等)(2)(提示:可考虑按第一行(列)展开)(3)(提示:可考虑第一行的倍加到各行,再化为三角行列式)1.用迭代法计算下列行列式(1)解:按第一行(列)展开,得递推公式:=+。于是==。由此得:+++。(2)。解:按第一行展开,有递推公式+,得递推公式:①同理可得:②联立①与②,解方程组得:1.利用范德蒙行列式的结果计算下列行列式(1),(提示:利用行列式的性质,先化行列式为标准形式的范德蒙行列式,再利用范德蒙行列式的结果计算行列式)(2),解:在行

5、中提出因子,4.构造辅助行列式法计算下列行列式(1)(缺行的范德蒙行列式)解:构造辅助范德蒙行列式,为中元素的余子式,而(2)解:构造辅助行列式,则,而5.用数学归纳法证明:证明:(1)时,等式显然成立;(2)假定等式对于小于阶的行列式成立;(3)(下证阶行列式成立)由于,+(注:按最后一行(列)展开)==所以,6.,求(提示:将所有行加到最后一行)§3克来姆(Cramer)法则1.用克来姆法则解下列方程组(1)(2)2.当取何值时,方程组有非零解?第一章矩阵§1矩阵的概念及运算1.判断正误(1)设为矩阵,为矩阵,若,则与必为同阶方阵。()(2)与为阶方阵,为实数,有。

6、()(3)与为阶方阵,。()(4)与为阶方阵,。()(5)为阶方阵,。()(6)与为阶方阵,。()(7)为阶方阵,。()(8)与为阶方阵,。()(9)与为阶方阵,。()2.选择题(1)设均为阶方阵,,则()(A)(B)(C)(D)(2)若为实对称矩阵,则的值()(A)(B)(C)(D)不能确定(3)设为方阵,,则为()(A)(B)(C)(D)不能确定1.设,,计算:(1);(2);(3)。2.计算。(提示:先计算出,以此归纳出,然后用数学归纳法证明结论)3.设为阶方阵,若对任意的维列向量,均有,证明:。(提示:由于维列向量的任意性,考察维列向量,证中各元素为0)1.设为

7、实对称矩阵,若,证明。(提示:证中各元素为0)2.若为阶方阵,且满足。若,求。(提示:先证明)3.试证:若为奇数阶方阵,且满足,,则。(提示:先证明)4.若为奇数阶反对称方阵,证明:。(提示:由反对称阵的定义证明)1.设都是对称矩阵,证明:为对称矩阵的充要条件是。2.设阶方阵,,且与的各行元素之和为1,是矩阵,且每个元素都为1,求证:(1);(2)的各行元素之和都等于1;(3)若各行元素之和分别为,则的各行元素之和都等于什么?§2逆矩阵1.判断正误(均为阶方阵)(1)。()(2)。()(3)为阶方阵。则或。()(4)。()(5),。()(

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