三角函数公式与推导公式

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1、三角函数公式定义式: 锐角三角函数任意角三角函数图形直角三角形任意角三角函数正弦(sin)余弦(cos)正切(tan或tg)余切(cot或ctg)正割(sec)余割(csc)函数关系倒数关系:商数关系:平方关系:诱导公式公式一:设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:公式二:设为任意角,与的三角函数值之间的关系:公式三:任意角与的三角函数值之间的关系:公式四:与的三角函数值之间的关系:公式五:与的三角函数值之间的关系:公式六:及与的三角函数值之间的关系:记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°±α,则函数名称变为余名函数,正

2、弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。形如2k×90°±α,则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:k×π/2±a(k∈z)的三角函数值.(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。记忆方法一:奇变偶不变,符号看象限:记忆方法二:无论α是多大的角,都将α看成锐角.以诱导公式二为例:若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,

3、余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二.以诱导公式四为例:若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四.诱导公式的应用:运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:特别提醒:三角函数化简与求值时需要的知识储备:①熟记特殊角的三角函数值;②注意诱导公式的灵活运用;③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最

4、好。基本公式和差角公式二角和差公式证明如图,负号的情况只需要用-β代替β即可.cot(α+β)推导只需把角α对边设为1,过程与tan(α+β)相同.证明正切的和差角公式证明正弦、余弦的和差角公式三角和公式和差化积口诀:正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦.积化和差倍角公式二倍角公式三倍角公式证明:sin3a=sin(a+2a)=sin^2a·cosa+cos^2a·sina=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos^2acosa-sin^

5、2asina=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sin^2a)=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cos^2a-3/

6、4)=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得:tan3a=tana·tan(60°-a

7、)·tan(60°+a)四倍角公式sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)五倍角公式n倍角公式应用欧拉公式:  .上式用于求n倍角的三角函数时,可变形为:所以,其中,Re表示取实数部分,Im表示取虚数部分.而所以,n倍角的三角函数半角公式(正负由所在的象限决定)万能公式辅助角公式 证明:由于 ,显然,且故有:三角形定理正弦定理详见词条:正弦定理在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分

8、别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R.则有:正弦定理变形可得:余弦定理详见词条:余弦定理在如图所示的在△A

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