简单的三角恒等变换().doc

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1、3.2简单的三角恒等变换习题课（第3课时）教学目标重点：学习三角函数的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理与运算能力．难点：运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．能力点：体会化归、方程等数学思想，提高学生的推理能力．教育点：通过典例的探究培养学生的逻辑推理能力和辨证唯物主义观点，培养学生的学习兴趣．自主探究点：利用三角恒等变换研究函数性质的高考试题选做．易错点：计算角的三角函数值时，一般要先考虑角的取值范围，使所计算的函数在该范围内单调，

2、以避免讨论，注意发掘隐含的限制角的范围的条件，避免因对隐含条件的疏忽致误．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：投影仪．一、【知识结构】简单的三角恒等变换公式公式的灵活应用三角问题的解决技巧和方法和角、差角、倍角公式半角公式(了解)和差化积、积化和差(了解)正用逆用变角变名称升降幂配方消元三角变换的应用二、【知识梳理】1．半角公式(了解)sin＝±　cos＝±tan＝±　tan＝＝2．积化和差与和差化积公式(了解)sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝[sin

3、(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]sinα＋sinβ＝2sincossinα－sinβ＝2cossincosα＋cosβ＝2coscoscosα－cosβ＝－2sinsin3．求值题常见类型(1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和角、差角、倍角公式消去非特殊角转化为特殊角的三角函数而得解．(2)“给

4、值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．三、【范例导航】题型一、运用倍、半角公式求值例1．求值：(1)；(2)已知，其中为第二象限角，求的值．【思路点拨】逆用倍角公式求值．【解答】(1)；(2)因为，所以，所以，因为为第二象限角，所以，所以．【点评】利用倍、半角公式求值的关键在于转化，将未知向已知转化或将

5、非特殊角转化为特殊角，并且消除非特殊角的三角函数而得解．此外，在解题时还要应注意二倍角公式与两角和公式的内在联系，准确理解倍角公式中角度之间的“二倍”关系，这样有助于我们灵活运用公式进行化简求值．变式练习1：下列各式中，值为为的是()A．B．C．D．答案：D．题型二、三角函数式的化简例2．化简：＋．【思路点拨】对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．【解答】原式＝＋＝＋

6、＝－－＝－＝－．【点评】　化简的原则是形式尽量简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题两项分子、分母都较复杂，要充分利用倍角公式进行处理．对于根式形式的三角函数式的化简常以化去根号为目标，为此常将被开方的式子配成完全平方，化简时要注意角的范围．变式练习2．计算：＝________．答案：原式＝＝＝＝－．题型三、三角恒等式的证明例3．求证：＝．【思路点拨】观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪边证明(也可两边同

7、时化简)，．【证明】左边＝＝＝＝＝＝＝＝＝右边．故原等式成立．【点评】证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．本题三角等式左侧较为复杂，可以从等式左侧入手证明，一步一步推证到等式的右侧，中间也可以采用变更论证等技巧．变式练习3．已知2sinβ＝sinα＋cosα，sin2γ＝2sinα·cosα，求证：2cos2β＝cos2r．答案：(1)由已知可得4sin2β＝1＋2sinαcosα＝1＋sin2γ，∴1－sin2γ＝2－4sin2β＝2(1－2sin2β)．

8、由此得cos2γ＝2cos2β，故所证明等式成立．题型四、利用三角恒等变换研究函数性质例4．已知函数(1)求的最小正周期；(2)求的最大值和最小值；(3)若，求的值．【思路点拨】化简函数，再研究函数的性质．【解答】,所以（1）的最小正周期是；（2）的最大值为，最小值为；（3），所以，所以．【点评】本题主要考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．变式练习4．已知：f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a．(