概率统计中蒙特卡罗方法应用三例

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1、概率统计中蒙特卡罗方法应用三例概率统计中蒙特卡罗方法应用三例概率统计是应用性很强的学科，在教学中不仅要重视理论知识的传授，同时应引导学生关注计算问题，熟悉统计软件。为了达到这一目的，利用统计软件完成一些任务，能够激发学生的成就感，进而提高学习兴趣。因此，结合教学内容进行一些概率统计小实验，让学生熟悉统计软件及常用的计算方法，是改进概率统计教学的一个重要部分。　　本文选取在概率统计教学中遇到的三个典型问题，利用蒙特卡罗（MonteCarlo）方法，借助于R软件，进行详细分析和本文由.L.收集整理模

2、拟计算，以期对概率统计的实验教学提供参考。　　蒙特卡罗方法，是一种基于随机数的统计模拟方法。在一些统计问题中，有时很难给出完美的理论结果，这时可以通过随机模拟来给出近似的结果。一般需要根据已知的概率分布构造出相应的模拟样本，用它们的样本频率代替相应的概率作统计分析和推断[1]。随着概率统计学的发展，蒙特卡罗方法已成为普遍应用的方法之一。甚至有时即使得到了问题的精确结果，也需要通过随机模拟来进行验证。　　R软件是一个有着强大的统计分析及作图功能的软件系统，它在GNU协议（GeneralPublic

3、License）下免费发行，由R核心小组成员开发及维护[2]。由于其免费共享且功能强大的特点，R软件已经成为科研工作者最常使用的统计软件之一。　　1民航送客问题　　例1一辆民航送客车载有20位乘客从机场开出，沿途有10个车站可以下车。到达一个车站后若无乘客下车就不停车。X表示停车的次数，求EX。（假设每个乘客在各个车站下车是等可能的，且各乘客是否下车相互独立）[3]。　　解：设X■=0，第i个车站无人下车，1，第i个车站有人下车，i=1，2，，10.则X=X■+X■++X■，　　而由分析可知P（

4、X■=0）=0.9■，P（X■=1）=1-0.9■，i=1，2，，10.易计算得EX■=1-0.9■，所以EX=EX■+EX■++EX■=10（1-0.9■）=8.784（次）　　分析：此题属于数学期望性质的应用的题目，解法非常巧妙。但是在教学过程中发现，学生们总试图直接求出X的分布，然后计算期望。然而X的分布并不容易得到，因此解题过程进行不下去，使得学生的心里感觉不踏实。而利用蒙特卡罗方法，我们很容易就可以模拟出X的分布，进而得到EX的估计值。　　模拟算法步骤：　　（1）从1～10中有放回随机

5、抽取20个数；（20个乘客各自下车的车站数）　　（2）若在20个数中有m（0≤m≤10）个不相同的数，则X=m；（m个车站有人下车）　　（3）将步骤（1）、（2）重复n=10000次，得到X的10000个值；　　（4）求10000个X值的平均值，即为EX的估计值。　　R软件的模拟程序：　　station=seq（1，10）　　sp=rep（1/10，10）　　n=10000　　x=rep（0，n）　　for（iin1：n）{　　x_sample=sample（station，20，r

6、eplace=TRUE，sp）　　x[i]=sum（station%in%x_sample）　　}　　table（x）/n　　mean（x）　　表1是停车次数X的模拟分布。这里，虽然X还可能取值1，2，3，4，但实际上相应的概率非常小，接近于0，因此没有在表1中显示出来。　　表1重复n=10000次时停车次数X的模拟分布　　从表2可看出模拟计算结果与理论值很接近，且重复次数n越大与理论值越接近。　　表2重复n次时EX的模拟结果　　2估计量的有效性问题　　例2已知随机变量X服从参数为&lambda

7、;的泊松分布，由简单随机样本X■，X■，，X■给出未知参数λ的无偏估计量[4]。分析：分别定义■=■■X■，S■=■■（X■-■）■，为样本均值和样本方差，通常的做法是，由于E■=EX=λ，所以取样本均值■作为参数λ的无偏估计量。但是也有同学会想到，泊松分布中DX=λ，而ES■=DX=λ，所以S■也是λ的无偏估计量。那么，到底哪个估计量更好呢？这需要计算两个估计量的方差，谁的方差小谁就更有效。易知D（■）=■=■

8、，但是D（S■）并不容易通过推导直接计算出来。下面我们利用蒙特卡罗方法来模拟计算估计量■和S■的标准差。　　模拟算法步骤：　　（1）设定λ=λ0（=0.5），从参数为λ0的Poisson分布中随机抽取m（=100）个随机数；　　（2）利用这m个随机数，计算其样本均值■和样本方差s■；　　（3）将步骤（1）、（2）重复n=1000次，得到（■■，■■，，■■）和（s■■，s■■，，s■■）；　　（4）计算（■■，■■，，■■）的样本均值和样本标准差；　　（