4—4.3直线的参数方程

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1、word资料下载可编辑4—4.3直线的参数方程【学习目标】1．能选择适当的参数写出直线的参数方程．2.会运用直线的参数方程解决有关问题。【要点梳理】要点一、直线的参数方程的标准形式1.直线参数方程的标准形式：经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为：（为参数）；我们把这一形式称为直线参数方程的标准形式。2.参数的几何意义：参数表示直线上以定点为起点，任意一点M(x,y)为终点的有向线段的长度再加上表示方向的正负号，也即，表示直线上任一点M到定点的距离。当点在上方时，；当点在下方时，；当点与重合时，；要点注释：若直线的倾角时，直线的参数方程为.要

2、点二、直线的参数方程的一般形式过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是(t为参数)在一般式中，参数t不具备标准式中t的几何意义。若a2+b2=1,则为标准式，此时，｜t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是｜t｜.要点三、化直线参数方程的一般式为标准式一般地，对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为，.（t为参数），斜率为(1)当＝1时，则t的几何意义是有向线段的数量.(2)当≠1时，则t不具有上述的几何意义.可化为令t¢=则可得到标准式t¢的几何意义是有向线段的数量.要点

3、四、直线参数方程的应用1.直线参数方程中参数的几何意义几种常见用法：设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是（t为参数）若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则（1）P1、P2两点的坐标分别是：(x0+t1cosα,y0+t1sinα)，(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则t=中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜(4)若P0为线段P1P2的中点，则t1+t2=0.2.用直线参数方程解直线与圆锥曲线相交的

4、几种题型：（1）有关弦长最值题型过定点的直线标准参数方程，当直线与曲线交于A、B两点。则A、B两点分别用参变量t1、t2表示。一般情况A、B都在定点两侧，t1，t2符号相反，故

5、AB

6、=

7、t1-t2

8、，即可作分公式。且因正、余弦函数式最大（小）值较容易得出，因此类型题用直线标准参数方程来解，思路固定、解法步骤定型，计算量不大而受大家的青睐。(2)有关相交弦中点、中点轨迹的题型直线标准参数方程和曲线两交点A(t1)、B(t2)的中点坐标相应的参数；若定点恰为AB为中点，则t1+t2=0.这些参数值都很容易由韦达定理求出。因此有关直线与曲线相交

9、，且与中点坐标有关的问题，用直线标准参数方程解决较为容易得出结果。（3）有关两线段长的乘积（或比值）的题型若F为定点，P、Q为直线与曲线两交点，且对应的参数分别为t1、t2.则

10、FP

11、·

12、FQ

13、=

14、t1·t2

15、，由韦达定理极为容易得出其值。因此有关直线与曲线相交线段积（或商）的问题，用直线的标准参数方程专业技术资料word资料下载可编辑解决为好【典型例题】类型一、直线的参数方程例1.（2016春福州校级期中）直线（t为参数）的倾斜角是（）A．20°B.70°C.110°D.160°【思路点拨】因为不是标准形式，不能直接判断出倾斜角，有两种方

16、法：化为普通方程，化标准形式。【答案】D【解析】第一种方法：化为普通方程，求倾斜角．把参数方程改写成，消去t，有，即，所以直线的倾斜角为160°．第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程，所以直线的倾斜角为160°，选D．【总结升华】根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如（t为参数），可以直接判断出直线的倾斜角是20°，但是如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了。举一反三：【变式1】已知直线的参数方程为（t为参数），求直线的倾斜角．【答案】关键是将已知的参数方程化

17、为的形式。若化成另一种形式，若2t为一个参数，则，在内无解；而化成时，则得．故直线的倾斜角为．【变式2】求直线的斜率。【答案】∴【变式3】为锐角，直线的倾斜角（　　）。A、B、C、D、【答案】，相除得，∵，∴倾角为，选C。【变式4】已知直线的参数方程为，的参数方程为．试判断与的位置关系．【答案】解法一：将直线化为普通方程，得y=2x+1，将化为普通方程，得．因为，所以两直线垂直．解法二：由参数方程可知的方向向量是a1=（2，4），的方向向量是a2=（2，－1），又2×2+4×(－1)=0，∴．即两条直线垂直．专业技术资料word资料下载可编

18、辑例2．设直线的参数方程为．（1）求直线的直角坐标方程；（2）化参数方程为标准形式．【思路点拨】在直线的参数方程的标准形式中参数t的系数具有明确的意义，分别是直线的倾斜角的正、余