高等数学复旦三版习题集一答案解析

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1、习题一1.下列函数是否相等,为什么?解:(1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数的定义域是,而函数的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等.2.求下列函数的定义域解:(1)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是.(2)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须即所以函数的定义域是.(4)要使函数有意义,必须即即或

2、,(k为整数).也即(k为整数).所以函数的定义域是,k为整数.3.求函数的定义域与值域.解:由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当时,可以是不为零的任意实数,此时,可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].4.没,求解:,5.设,求.解:6.设,求和.解:7.证明:和互为反函数.证:由解得,故函数的反函数是,这与是同一个函数,所以和互为反函数.8.求下列函数的反函数及其定义域:解:(1)由解得,所以函数的反函数为.(2)由得,所以,函数的反函数为.(3)由解得所以,函数的反函数为.(4)由得,又,故.又由得,即,故可得反函数的定义域为[

3、0,2],所以,函数的反函数为.9.判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:解:(1)函数的定义域为(-∞,+∞),当时,有,当时,有,故有.即函数有上界.又因为函数为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数有界.又由知,当且时,,而当且时,.故函数在定义域内不单调.(2)函数的定义域为(0,+∞),且,使.取,则有,所以函数在定义域内是无界的.又当时,有故.即当时,恒有,所以函数在内单调递增.10.判断下列函数的奇偶性:解:(1)是偶函数.(2)函数是奇函数.11.设定义在(-∞,+∞)上,证明:(1)为偶函数;(2)为奇

4、函数.证:(1)设,则,有故为偶函数.(2)设则,有故为奇函数.12.某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半).解:设年销售批数为x,则准备费为103x;又每批有产品件,库存数为件,库存费为元.设总费用为,则.13.邮局规定国内的平信,每20g付邮资0.80元,不足20g按20g计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y与重量x的关系.解:当x能被20整除,即时,邮资;当x不能被20整除时,即时,由题意知邮

5、资.综上所述有其中,分别表示不超过,的最大整数.14.已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角=40°,如图所示.当过水断面ABCD的面积为定值S0时,求湿周L(L=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:从而.由得定义域为.15.下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?解:(1)是由复合而成.(2)是由复合而成.(3)是由复合而成.(4)是由复合而成.16.证明:证:(1)由得解方程得,因为,所以,所以的反函数是(2)由得,得;又由得,所以函数的反函数为17.写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:解:当时,.,当n无限增大时,有三种变化

6、趋势:趋向于,趋向于0,趋向于.,当n无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.18.对下列数列求,并对给定的确定正整数,使对所有,有:解:,,要使,只须.取,则当时,必有.当时,或大于1000的整数.,,要使只要即即可.取,则当时,有.当时,或大于108的整数.19.根据数列极限的定义证明:证:,要使,只要.取,则当n>N时,恒有.故.(2),要使只要,取,则当n>N时,恒有.故.(3),要使,只要,取,则当n>N时,恒有,从而.(4)因为对于所有的正整数n,有,故,不防设,要使只要取则当时,恒有故.20.若,证明,并举反例说明反之不一定成立.证:,由极限的定

7、义知,,当时,恒有.而,当时,恒有,由极限的定义知但这个结论的逆不成立.如但不存在.21.利用单调有界准则证明下列数列有极限,并求其极限值:证:(1),不妨设,则.故对所有正整数n有,即数列有上界.又显然有,又由得,从而即,即数列是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列有极限.设,则,于是,(不合题意,舍去),.(2)因为,且,所以,即数列有界又由知与同号，从而可推得与同号，而故,即所以数列单调递增，由单调有界准则知，的极限存在.设,则，解得(不合题意，舍去).所以22.用函数极限定义证明：证：(1),要使,只须,取，则当时，必有,故.(2),要使,只须,取，