矩阵连乘实验报告

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1、华北电力大学科技学院实验报告实验名称矩阵连乘问题课程名称计算机算法设计与分析专业班级：软件12K1学生姓名：吴旭学号：121909020124成绩：指导老师：刘老师实验日期：2014.11.14..一、实验内容矩阵连乘问题，给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,3…,n-1。考察这n个矩阵的连乘A1,A2,…,An。二、主要思想由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次

2、序完全确定，也就是说该连乘积已经完全加括号，则可依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。完全加括号的矩阵连乘积可递归的定义为：(1)单个矩阵是完全加括号的；(2)矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。运用动态规划法解矩阵连乘积的最优计算次序问题。按以下几个步骤进行1、分析最优解的结构设计求解具体问题的动态规划算法的第1步是刻画该问题的最优解的结构特征。为方便起见，将矩阵连乘积简记为A[i:j]。考察计算A[1:n]

3、的最优计算次序。设这个计算次序矩阵在Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，1≤k≤n,则其相应的完全加括号方式为((A1…Ak)(Ak+1…An))。依此次序，先计算A[1:k]和A[k+1:n],..然后将计算结果相乘得到A[1:n]。1、建立递归关系设计动态规划算法的第二步是递归定义最优值。对于矩阵连乘积的最优计算次序问题，设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需的最少数乘次数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。当i=j时，A[i:j]=Ai为单一矩阵，无需计算，因此m[i][i]=

4、0，i=1,2,…n。当i

5、(见实验代码部分)3、构造最优解算法matrixChain只计算出最优值，并没有给出最优解。但是matrixChain已经记录了构造最优解所需的全部信息。S[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1..之间断开，最优加括号方式为(A[i:k])(A[k+1:j])。依次构造最优解。(算法见实验代码部分)一、实验结果二、结果验证对实验结果进行验证，4个矩阵分别是A1[35*15]，A2[15*5]，A3[5*10]，A4[10*20]。依递归式有：M[1][4]

6、=min0+2500+35×15×20=130002625+1000+35×5×20=71254375+0+35×10×20=11375=7125且k=3。..计算结果正确，证明所编写的程序可正确算出最优解。一、实验代码#include#defineN100//定义最大连乘的矩阵个数是100voidmatrixChain(intp[],intm[N+1][N+1],ints[N+1][N+1])/*用m[i][j]二维数组来存储Ai*.....Aj的最少数乘次数，用s[i][j

7、]来存储使Ai.....Aj获得最少数乘次数对应的断开位置k，需要注意的是此处的N+1非常关键，虽然只用到的行列下标只从1到N，但是下标0对应的元素默认也属于该数组，所以数组的长度就应该为N+1*/{intn=N;//定义m,s数组的都是n*n的，不用行列下标为0的元素，但包括在该数组中for(inti=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;/*将矩阵m的对角线位置上元素全部置0，此时应是r=1的情况，表示先计算第一层对角线上个元素的值*/for(intr=2;r<=n;r++)//r表示斜

8、对角线的层数，从2取到n{for(inti=1;i<=n-r+1;i++)//i表示计算第r层斜对角线上第i行元素的值{intj=i+r-1;//j表示当斜对角线层数为r，行下标为i时的列下标m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//计算当断开位置为i时对应的数乘次数s[i][j]=i;//断开位置为ifor(intk=i+1;k