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《圆锥曲线的范围、最值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、圆锥曲线的最值、范围问题与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意．一、利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．【例1】已知是椭圆内的两个点,是椭圆上的动点,求的最大值和最小值．【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论三点是否共线,总有,故取不到等号
2、,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用．【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化．【小试牛刀】【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知为抛物线上一个动点,为圆上一个动点,当点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和最小时,点的横坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点到点的距离与点到准线距离之和的最小值就是点到点的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值,因此当三点共线时,距离之和取最小值.【解析】设到抛物线准线的距离为,抛物线的焦点为,圆心为,则,故选A
3、...二、单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量．【例2】已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线与以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程.（2）设为椭圆上一点,若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足(O为坐标原点),求实数的取值范围.【分析】（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,代入*式得,即可得到所求椭圆方程；（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,
4、设,将直线方程代入椭圆方程得：,根据得到；设,应用韦达定理.讨论当k=0,的情况,确定的不等式.【解析】（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,∴圆心到直线的距离*∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,b=c,代入*式得∴故所求椭圆方程为（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在,设直线方程为,设..将直线方程代入椭圆方程得：∴∴设,则………………8分当k=0时,直线l的方程为y=0,此时t=0,成立,故,t=0符合题意.当时得∴将上式代入椭圆方程得：整理得：由知所以【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于的等量关系；
5、直线和椭圆的位置关系问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点在椭圆上和向量式得,进而求函数值域．【小试牛刀】【2017河南西平县高级中学12月考】已知中心在原点,焦点在轴上,离心率为的椭圆过点．[来源:Z。xx。k.Com]..（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点的直线与该椭圆交于,两点,满足直线,,的斜率依次成等比数列,求面积的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意可设椭圆方程,则解得所以方程为．（2）由题意可知,直线的斜率存在且不为,故可设直线的方程为（）,,,由得,则,且,,故．因直线,,的斜率依次成等比数列,所以,即,又,所以,即．..由于
6、直线,的斜率存在,且,得且．设为点到直线的距离,则,所以的取值范围为．三、二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理．[来源:学
7、科
8、网]【例2】若点O、F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则的最大值为【分析】设点,利用平面向量数量积坐标表示,将用变量表示,借助椭圆方程消元,转化为一元函数的最值问题处理．【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程．【小试牛刀】抛物线的焦点为,点为该抛物线上的动点,又已知点,则的取值范围是.【答案】【解析】由抛物线的定义可得,又,,当时,；当时,,,当且仅当即
9、时取等号,于是,..,,综上所述的取值范围是.四、双参数最值问题该类问题往往有三种类型：①建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；②建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；③建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围．【例3】在平面直角坐标系中,已知椭圆：的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P为椭圆上一点,且满足（O为坐标原点）,当时,求实数的取值范围.【
