物理竞赛微积分初步(求导积分)

物理竞赛微积分初步(求导积分)

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时间:2018-11-25

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1、微积分初步函数的导数与微分函数的不定积分与定积分§1函数、导数与微分一、变量、常量与函数变量:在某一过程中取值会不断变化的量。常量:在某一过程中取值始终不变的量。函数:变量y按某种确定的关系随变量x的变化而变化,则称y是x的函数,x叫自变量,y叫因变量,写作:y=f(x)例:y=3x2+2x,y=5sinx,y=ax,y=e2x复合函数:若y是z的函数y=f(z),而z又是x的函数z=g(x),则称y是x的复合函数,记作:y=(x)=f[g(x)]例:y=sin(ax2+bx+c),y=esin(2x+3)

2、二、函数的导数△x△yxyy=f(x)xx+△x设函数y=f(x)在x处有一增量△x,相应地函数有增量△y,则比值叫函数y=f(x)在x到x+△x之间的平均变化率。函数y=f(x)在x处的导数定义为:例:求函数y=x2在x=1和x=3时的导数值。解:由有所以当x=1时,y’=2,当x=3时,y’=6△x△yxyy=f(x)xx+△xPQ导数的几何意义:从图中知道,△y/△x是过P、Q两点的割线的斜率,而当△x0时,割线成为过P点的切线,因而导数y’=f’(x)表示曲线在x处切线的斜率。函数y=f(x)在某处

3、的导数值,就表示了该处切线的斜率,也就是在该点处函数y=f(x)随x的变化率。基本函数导数公式导数的基本运算法则:(设u=u(x),v=v(x))例1:求y=x3lnx的导数解例2求y=sinx/x的导数解二阶导数与高阶导数前述函数的导数是y对x的一阶导数,若将一阶导数y’再次对x求导,则为二阶导数:同理,将二阶导再对x求导则为三阶导,三阶导的导数则为四阶导等。例 求y=x3+3x2的二阶导数三、函数的极值x1x2x3xy若函数y=f(x)在某一点x1的函数值f(x1)比邻近各点的函数值都大或都小,则称x1为

4、一个极值点,f(x1)为函数的一个极值。图中x1和x3为极大值点,x2为极小值点,f(x1)和f(x3)为极大值,f(x2)为极小值。极值点处的切线一定是水平的,因而极值点的判定条件是:f’(x)=0极大值点的条件是:f’(x)=0,f’’(x)<0极小值点的条件是:f’(x)=0,f’’(x)>0例 求函数y=4x3-3x2+5的极值点和极值解:因y’=12x2-6x令y’=0得x1=0,x2=1/2此为其两个极值点。又y’’=24x-6,有y’’(x1)=-6<0,y’’(x2)=6>0因而x1=0是极大

5、值点,对应的极大值为y1=5x2=1/2是极小值点,对应的极小值为y2=19/4四、函数的微分例 求函数y=5x+sinx的微分函数y对自变量x的导数可将dx看成是自变量x的一个趋于零的微小增量,称为自变量的微分;而相应的将dy看成是函数y的微小增量,称为函数的微分。有:§2不定积分一、原函数前一节学了求函数y=f(x)的导数f’(x),现若已知一函数F(x)的导数为f(x),要求原函数F(x)例 因(x3)’=3x2,所以x3为3x2的原函数(sinx)’=cosx,sinx是cosx的原函数∵F’(x)

6、=[F(x)+c]’,c为任意常数,∴函数f(x)的原函数有任意多个:F(x)+c二、不定积分定义:函数f(x)的所有原函数F(x)+c叫f(x)的不定积分,记为:不定积分的性质:这说明不定积分是求导数的逆运算。不定积分公式:不定积分运算法则:3.若能找到函数u=u(x),使且积分较易求出,则:例1求解:令u=1+x,微分得:du=dx,有:例2求解:令u=ax+b,微分得:du=adx,有:例3求解:令u=x2+1,微分得:du=2xdx,有:例4求解:令u=e3x,微分得:du=3e3xdx,有:§3定积

7、分设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,将区间[a,b]作n等分,各小区间的宽度为△x,又在各小区间内选取一点xi得出函数在这些点处的值f(xi)(i=1,2,3,…,n)abxyxiy=f(x)f(xi)△x定义:为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。f(x)为被积函数,a,b分别为积分下限和上限。定积分的几何意义:abxyy=f(x)f(xi)△x由图可知f(xi)△x为图中一个小区间的面积,因而定积分:表示了区间[a,b]上,曲线y=f(x)下方的面积。注意:定积分的值有正也有负,因而这并非通

8、常意义下的面积。定积分的主要性质:定积分的计算(牛顿-莱布尼茨公式)若不定积分则定积分由此可知:求函数的定积分,通常是先求出其不定积分(原函数F(x)),再求F(b)-F(a)例1求解:令u=x2+1,微分得:du=2xdx,有:例2求解:令u=cosx,微分得:du=-sinxdxyxy=x2y=4-x2AB例3求由曲线y=x2和曲线y=4-x2所包围的面积。解:先求出两曲线交点A,B的x坐标为:

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