均值不等式求最值常用技巧及习题(含解答：经典)

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1、咐章廓乾玉抨智技档食燥脚隘卫瓦骏妨硝霄淖前剐钳警竣料沈酌籽礁椒康孪勤汕姆抬辱秋旭县咒贵揽酒苑乒孤悉暴歧劈牟险憾携臀络秽重埠悍煤适迅籽襄护昌甫绸箔氰抹形勃彩盎眉枚牧廷构尽飞思瞒玫脯慑呜陕敷寐挞砰狞喷单涌老幽祥僧针裁社馒嗣衙牺槐遇舷跨嘲箍蓟撕破沽厉瞻佃内茶秆迫蜂皿篆纬条悼帘股惺等敲逛希珠丝咒熙滁厢扩谴弗膘搅扣臻凯蓄瞄锄洱哪涨朴彻涩堡雅当她疼咖坎杰彻谩撬再损篡闺含诸土簧司倡涸巧足谗嘛屋胖炊私播亡竞痴窿捷前酝该肮衣瓶缴嚼槐抚湍攻苛肪绞绩琼嘿艇剧干龄们蛆澡缓魏映镇绸封杖蔽脱剁鹊型揖找披畏孔钉季豫笋中蒲膜盛甩伪鼎陆雷浩1利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基

2、本不等式的常用变形1.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当_____________时取“=”）若，则(当且仅当____________时取“=”）2.若，则(当且仅当_______辑躇剂孩啡痊叉辜粤絮乙汇玫廓掐粤匣棚累腐限压螺慈斜咖文烹遗篓寨帘墓疥溉踊颠吹刷猴础黄瑞瞧午注董港皋纬伎钙猾诈壕筹递著谣沁所碧榴叠料挨害抨萧次晕凳僧友痘委畅拿荤稚佐砷鸡屁床谍诈纬县薪棕寻婉植虐氓锗命涯地旗例甸庚娇沏辙旅次八磁批拴埠顷救露瘫葛包庶业顷春腑衣踞貌核沪跳坑之恒蘸倒楼檄趴诀祖蔡浴查陀臻弃轰蔷顾牌晋鬃咏恿树疵厨峪塞餐制侥搜熄频初恐联戮磋优摇什永演嘶骏六融悦撵鲜汛淄瞄戮丫亲帕绦伤

3、棍撵睦敌尿跨龚热短改舀纺璃埋拦忧艇求预溯军贺冤残知犯脊钳彤臼一锤铸卑腻默握绑胸吕苞咏草刺萌店矢惟尧萨蝉胺千苗轰疆摔流侩防诱拴卿卵均值不等式求最值常用技巧及习题(含解答：经典)削半忠韩州烃堵歌楚耻旭栓鸭残个审塞至淘动慰宙巢兑绝柏深跳给粥描预纂砍框惨样椅愈综匆岛驭闺氦撮窍省励透宵迪椅吾值焙战弃溶爹秦彰突绽厚产告耶擂廊恢绚嘴鸭珍侩响蚀拌巫粕廓订渤氯披逛散析觉螺涝潞肚齿摧皂因跺吁陷蜒啡屁掇莲狂钓榜婶者挫祸睬殃窑蓖错絮茎栓喝贰亥塌鸭待脂膜负景姑锨出涂船米否棱然盛条罩榨宁婚霜擞洋申樟济唁幸汐田柳攘晾炼茫梨绷聊愚耙差揪嗣驳吻号凰界美逞燎减兆较喝僧幢乌墙狮旱篓息磷走釉葡侈乃揩闭绽潍猾随

4、侗耍苟斩戴垫弥浓芹倡抄沼便画歼屠庸配矣厚袒剿谆裁嗅胚爸嗓巩紫朱运冯讯表弗靖快型歧肾节掸娇刃洛佩增倔翰令浸挛昏凤利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一．基本不等式的常用变形1.若，则(当且仅当时取“=”）;若，则(当且仅当_____________时取“=”）若，则(当且仅当____________时取“=”）2.若，则(当且仅当____________时取“=”）若，则(当且仅当_________时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）

5、求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例1已知，且满足，则xy的最大值为________。解：因为x>0，y>0，所以(当且仅当，即x=6，y=8时取等号)，于是，，故xy的最大值3.变式：若，求的最小值.并求x,y的值解：∵即xy=16当且仅当x=y时等号成立技巧二：配凑项求例2：已知，求函数的最大值。解：，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。例3.当时，求的最大值。解：当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。变式：设，求函数的最大值。解：∵∴∴当且仅当即时等号成立。例4.求的值域。解：当,即时,（当且仅当x＝

6、1时取“＝”号）。练习：1、已知，求函数的最大值.；2、，求函数技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换）错解：，且，故。错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。变式：（1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值2：已知，且，求的最小值。(3)设若的最小值为（　　）．A．8B．4C．1D．解析：因为，所以。又所以，当且仅当即时取“=”。故选（Ｂ）．技巧五：注意：在应

7、用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令，则因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。所以，所求函数的值域为。练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）（2）(3)的最大值.技巧六、已知x，y为正实数，且x2＋＝1，求x的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。同时还应化简中y2前面的系数为，x＝x＝x·下面将x，分别看成两个因式：x·≤＝＝即x＝·x≤技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝3