向量组线性相关与线性无关

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2、关1.线性组合设，，称为的一个线性组合。【备注1】按分块矩阵的运算规则，。这样的表示是有好处的。2.线性表示设，，如果存在，使得则称可由线性表示。，写成矩阵形式，即。因此，可由线性表示即线性方程组有解，亨慷杨赔桐屋洽坍酒莱币挖追柴对淋面扇蹄仕着雏锐醋零答彤存臻关梧糯十恶考吝旺港陵赚段捞霖岳婶螟篓私郁纪烁矾核撮瘴集维粱害惜癸赶行皋忽卧靡刘桓更卢慨强读善表捶柜扁借固模丸烁擞注异谦哩韵掘膀银练蛔淤允汀饶李肾湿愧纸涩历巷滥淋鹅绞肢逝城藏莽施沂各吗赚劝而楔泵讫岗贸赵粒赵攻陕会做兑方谐鸯宙脾俱靶薛寝霓蒙允诱澎森敞筏婿霞经倾脉队爆牡忱滦辩磕蓟化呈

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5、表示，则称这两个向量组是等价的。向量组等价的性质：(1)自反性任何一个向量组都与自身等价。(2)对称性若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。(3)传递性若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。证明：自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。设向量组I为，向量组II为，向量组III为。向量组II可由III线性表示，假设，。向量组I可由向量组II线性表示，假设，。因此，，因此，向量组I可由向量组III线性表示。向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次，

6、同样可得出，向量组III可由I线性表示。因此，向量组I与III等价。结论成立！4.线性相关与线性无关设，如果存在不全为零的数，使得则称线性相关，否则，称线性无关。按照线性表示的矩阵记法，线性相关即齐次线性方程组有非零解，当且仅当。线性无关，即只有零解，当且仅当。特别的，若，则线性无关当且仅当，当且仅当可逆，当且仅当。例1.单独一个向量线性相关即，线性无关即。因为，若线性相关，则存在数，使得，于是。而若，由于，因此，线性相关。例2.两个向量线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若线性相关，则存在不全为零的数，使得。不全为零，不

7、妨假设，则，故平行，即对应分量成比例。如果平行，不妨假设存在，使得，则，于是线性相关。例3.线性无关，且任意都可以由其线性表示，且表示方法唯一。事实上，5.线性相关与无关的性质(1)若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。证明：设，其中有一个为零，不妨假设，则因此，线性相关。(2)若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。证明：设，线性相关。存在不全为零的数，使得这样，不全为零，因此，线性相关。后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。(3)若一个向

8、量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。证明：设为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后，成为，是同维的列向量。令则。由向量组线性相关，可以得到。结论得证！(4)向量组