实用算法(基础算法-递推法)

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1、实用算法(基础算法-递推法-01)    有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：   Fn=g(Fn-1)   这就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系，然后从初始条件(或最终结果)入手，一步步地按递推关系递推，直至求出最终结果(或初始值)。很多程序就是按这样的方法逐步求解的。如果对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清楚其起始条件(最终结果)，问题就好解决，让计算机一步步算就是了，让高速的计算机做这种重复运算，可真正起到“物尽其用”的效果。   递推分倒推法和顺推法两种

2、形式。一般分析思路：   if求解条件F1       thenbegin{倒推}           由题意(或递推关系)确定最终结果Fa；           求出倒推关系式Fi-1=g'(Fi);           i=n;{从最终结果Fn出发进行倒推}           while当前结果Fi非初始值F1do由Fi-1=g(F1)倒推前项；           输出倒推结果F1和倒推过程；           end{then}       elsebegin{顺推}           由题意(或顺推关系)确定初始值F1(边界

3、条件)；           求出顺推关系式F1=g(Fi-1);           i=1;{由边界条件F1出发进行顺推}           while当前结果Fi非最终结果Fndo由Fi=g(Fi-1)顺推后项；           输出顺推结果Fn和顺推过程；       end;{else}一、倒推法   所谓倒推法，就是在不知初始值的情况下，经某种递推关系而获知问题的解或目标，再倒推过来，推知它的初始条件。因为这类问题的运算过程是一一映射的，故可分析得其递推公式。然后再从这个解或目标出发，采用倒推手段，一步步地倒推到这个问题的

4、初始陈述。   下面举例说明。[例1]贮油点   一辆重型卡车欲穿过1000公里的沙漠，卡车耗油为1升/公里，卡车总载油能力为500公升。显然卡车一次是过不了沙漠的。因此司机必须设法在沿途建立几个储油点，使卡车能顺利穿越沙漠，试问司机如何建立这些储油点？每一储油点应存多少油，才能使卡车以消耗最少油的代价通过沙漠？算法分析：   编程计算及打印建立的贮油点序号，各贮油点距沙漠边沿出发的距离以及存油量。       No.       Distance(k.m.)       oil(litre)       1               X

5、X               XX       2               XX               XX       3               XX               XX       ...              .....             ......   设dis[i]  为第i个贮油点至终点(i=0)的距离；     oil[i]  为第i个贮油点的存贮油量；   我们可以用倒推法来解决这个问题。从终点向始点倒推，逐一求出每个贮油点的位置及存油量。下图表示倒推时的返回点：    从贮油点i

6、向贮油点i+1倒推的策略是，卡车在点i和点i+1间往返若干次。卡车每次返回i+1处时正好耗尽500公升汽油，而每次从i+1出发时又必须装足500公升汽油。两点之间的距离必须满足在耗油最少的条件下使i点贮足i*500分升汽油的要求(0<=i<=n-1)。具体地讲，第一个贮油点i=1应距终点i=0处500km且在该处贮藏500公升汽油，这样才能保证卡车能由i=1处到达终点i=0处，这就是说   dis[1]=500       oil[1]=500;   为了在i=1处贮藏500公升汽油，卡车至少从i=2处开两趟满载油的车至i=1处。所以i=2

7、处至少贮有2*500公升汽油，即oil[2]=500*2=1000。另外，再加上从i=1返回至i=2处的一趟空载，合计往返3次。三次往返路程的耗油量按最省要求只能为500公升。即d12=500/3km       dis[2]=dis[1]+d12=dis[1]+500/3     为了在i=2处贮存1000公升汽油，卡车至少从i=3处开三趟满载油的车至i=2处。报以i=3处至少贮有3*500公升汽油，即oil[3]=500*3=1500。加上i=2至i=3处的二趟返程空车，合计5次。路途耗油量也应为500公升，即d23=500/5,   

8、    dis[3]=dis[2]+d23=dis[2]+500/5;     依此类推，为了在i=k处贮藏k*500公升汽油，卡车至少从i=k+1处开k趟满载车至i=k处，即