积化和差与和差化积公式(教师版)

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1、积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课一、基本公式复习1、两角和与差公式及规律2二倍角公式及规律3、积化和差与和差化积公式生动的口诀：（和差化积）口诀　　正加正，正在前，余加余，余并肩　　正减正，余在前，余减余，负正弦　　反之亦然和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：　①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos　②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。　③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

2、　④合一变形也是一种和差化积。　⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。　3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。sinα+sinβ=2sin[(α+

3、β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程　　因为　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，　　将以上两式的左右两边分别相加，得　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，　　设α+β=θ，α-β=φ　　那么　　α=(θ+φ)/2,β=（θ-φ）/2　　把α，β的值代入，即得　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]cos(α-β)-cos(α+β)　　=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]　　=2sinαsi

4、nβsinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]　　=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]　　其他的3个式子也是相同的证明方法。　4、万能公式证：注意：1、上述三个公式统称为万能公式。2、这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。一、应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升

5、幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；4、角度配凑方法，其中是任意角。三、例题讲解例1已知α，β均为锐角，sinα=，求α+β的值。解析：由已知条件有cosα=，且0＜α+β＜π。又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ例2已知（１）求（２）若求的值．解当时，当时，　　　　故当n为偶数时，当n为奇数时，例3已知（１）求的值；（２）当时，求的值．解（１）［方法１］从而，［方法２］设（２）由已知可

6、得例4已知求的值.解例5已知求的值.解将两条件式分别平方，得将上面两式相加，得例6的值等于（）A．B．C．D．解故选B.例7已知cos(α－β)=都是锐角，求cos(α+β)的值。解析：由已知条件有因为0＜sin2α=，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。①又因为0＜β＜，所以＜-β＜0。②由①、②得＜α-β＜。又因为cos（α-β）=，所以。=。从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)评析：本例通过0＜sin2α=，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-β的范围缩小为，进而由cos(α-β)=,将α-β的范围确定为，从而避免了

7、增解。例8已知，且tanα,tnaβ是一元二次方程的两个根，求α+β的值。解析：由已知条件得tanα+tanβ=，tanαtanβ=4＞0，所以tanα＜0，tanβ＜0。又因为，所以所以-π＜α+β＜0。又因为tan(α+β)==所以α+β=。评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0，知，，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。例9已知，求①；②．解：①=；②．例10已知，的值．解：，又因为（）及，所以，即，所