促进数学理解的教学策略

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1、促进数学理解的教学策略人民教育出版社章建跃zhangjy@pep.com.cn一、先行组织者策略含义：呈现具体内容前，先呈现相关的、包容范围广但又容易理解和记忆的引导性材料。作用：“导游图”；“已经掌握的知识”与“需要掌握的知识”之间的桥梁。类别：说明性组织者——为新知识提供适当的类属者，与新知识构成上位关系。在学习不太熟悉的知识时使用，所用语言是学生熟悉的、能理解的。例1函数性质的先行组织者变化之中保持的“不变性”就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量

2、的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质——“单调性”“最大值”“最小值”……。比较性组织者：指出新知识与认知结构中基本类似的概念之间的异同，用来增加那些基本上不同，但又容易使人误认为相似的新旧概念之间的可辨别性。例2排列组合概念的比较（1）全班50名同学每两个人握手一次，共握手多少次？（2）全班50名同学互赠照片一张，共需照片多少张？（1）从2，3，5，7，11中任意取两个数相乘，可得多少个不同的积？（2）从2，3，5，7，11中任意取两个数相除，可得多少个商？6个人去甲、乙、丙三个车间劳动，（1）如甲去1人，乙去2人，丙去3人，分配

3、方法有多少种？（2）如一个车间去1人，一个车间去2人，一个车间去3人，分配方法有多少种？二、问题性策略问题引导学习。理由：任何数学概念、原理都有其产生的背景，往往建立在解决某些问题的需要的基础上；第二，由难度适当的问题而引起的认知冲突，可以激发学生的求知欲和思维的积极性，提高学生的数学学习兴趣。例3数学归纳法的问题引导从头逐项验证获得经验，但“自然数有无限多个，无法穷尽”；“能否找到一种严格的、非经验的推理方法，通过有限步骤证明一个有关任意自然数n的命题？”仔细分析“多米诺骨牌”的结构，问：“前一块倒下一定导致后一块倒下的数学含义是什么？”根据自然数集的结构特征，归结到“递推关系：如果

4、命题对k成立，那么对k+1一定成立”。例4返程的根与函数的零点先行组织者能用公式得出精确解的方程很少，实践中一般也只需近似解（达到一定精确度）。我们要借助于方程与函数的联系，找出一种不断逼近的方法，得到方程的近似解。这里我们需要解决两个问题：第一，方程在什么条件下一定有根？——定性；第二，如果方程在区间[a，b]内有根，如何求出它的近似解（满足一定的精确度）？——定量问题1方程3456x2－3458x＋1＝0有实数根吗？注意：不需要求出根的具体值。希望能用学习过的有关一元二次方程、二次函数、二次函数图象的关系做出判断。用函数f(x)＝3456x2－3458x＋1的图象解释方程3456x

5、2－3458x＋1＝0有实数根后，再给出函数零点的概念，得到“方程f(x)＝0有实数根函数f(x)的图象与x轴有交点函数f(x)有零点”。问题2对于一般的方程f(x)=0（如lnx＋2x－6＝0）及对应的函数y=f(x)（如y=lnx＋2x－6），不能用二次方程的“判别式”。能否从问题1得到启发，自己给出一个判断方程f(x)=0在区间(a，b)内有实数根的方法？函数f(x)在区间(a，b)上有f(a)f(b)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)上是否一定存在零点，请举例说明。增加什么条件就“一定存在零点”？问题3函数f(x)在区间(a，b)上连续不断，单调，且有f(a)f(b)＜0，

6、那么函数f(x)在区间(a，b)上有且只有一个零点x0。给定精确度ε，怎样缩小区间(a，b)，使其包含零点x0且长度小于ε？三、过程性策略以数学知识的发生发展过程和学生的认知过程为线索安排教学过程，引导学生经历和完成相应的过程而理解和掌握数学知识。过程的安排创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考；开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等，形成假设；推理论证，检验假设，获得新知，纳入已有认知结构；知识的应用，加深理解，与相关知识建立联系，巩固新知。四、变式策略作用：（1）增加知识理解的角度和途径；（2）提高理解的层次性。变式的来源（1）概念、原理的多样化表达。例如，两

7、平面平行的判定定理的等价形式：α内的两条相交直线与平面β平行，那么α∥β；平面α和平面β同时垂直于一条直线，那么α∥β；平面α与平面β同时平行于平面γ，那么α∥β；……（5）证明方法的变式。例如，正弦定理的不同证法：面积法；利用余弦定理；利用三角形的外接圆；等等。实际上，不同变式的实质都在于想方设法用不同方法建立所学知识与相关知识的联系。五、类比策略类比在数学猜想、证明中有重要作用，许多定理、公式及其证明方法都是靠类比获得的。类比策略在教学中之