ecc加密算法入门介绍

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1、ECC加密算法入门介绍(转载)前言    同RSA（Ron Rivest，Adi Shamir，Len Adleman三位天才的名字）一样，ECC（Elliptic Curves Cryptography，椭圆曲线密码编码学）也属于公开密钥算法。目前，国内详细介绍ECC的公开文献并不多（反正我没有找到）。有一些简介，也是泛泛而谈，看完后依然理解不了ECC的实质（可能我理解力太差）。前些天我从国外网站找到些材料，看完后对ECC似乎懵懂了。于是我想把我对ECC的认识整理一下，与大家分享。当然ECC博大精深，我的认识还很肤浅，文章中错误一定不

2、少，欢迎各路高手批评指正，小弟我洗耳恭听，并及时改正。文章将采用连载的方式，我写好一点就贴出来一点。本文主要侧重理论，代码实现暂不涉及。这就要求你要有一点数学功底。最好你能理解RSA算法，对公开密钥算法有一个了解。《近世代数基础》《初等数论》之类的书，最好您先翻一下，这对您理解本文是有帮助的。别怕，我尽量会把语言通俗些，希望本文能成为学习ECC的敲门砖。 一、从平行线谈起。    平行线，永不相交。没有人怀疑把：）不过到了近代这个结论遭到了质疑。平行线会不会在很远很远的地方相交了？事实上没有人见到过。所以“平行线，永不相交”只是假设（大

3、家想想初中学习的平行公理，是没有证明的）。既然可以假设平行线永不相交，也可以假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞（请大家闭上眼睛，想象一下那个无穷远点P∞，P∞是不是很虚幻，其实与其说数学锻炼人的抽象能力，还不如说是锻炼人的想象力）。给个图帮助理解一下：       直线上出现P∞点，所带来的好处是所有的直线都相交了，且只有一个交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把原来平面上的点叫做平常点。    以下是无穷远点的几个性质。 ▲直线L上的无穷远点只能有一个。 （从定义可直接得出） ▲平面上一组相

4、互平行的直线有公共的无穷远点。 （从定义可直接得出） ▲ 平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。 （否则L1和L2有公共的无穷远点P ，则L1和L2有两个交点A、P，故假设错误。） ▲平面上全体无穷远点构成一条[color=red]无穷远直线[/color]。（自己想象一下这条直线吧） ▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成[color=red]射影平面[/color]。 二、射影平面坐标系    射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系（就是我们初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系）的扩展。我们知道普通平面直角坐标系没有为无穷远点

5、设计坐标，不能表示无穷远点。为了表示无穷远点，产生了射影平面坐标系，当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点（数学也是“向下兼容”的）。     我们对普通平面直角坐标系上的点A的坐标（x,y）做如下改造：    令x=X/Z ，y=Y/Z（Z≠0）；则A点可以表示为（X:Y:Z）。    变成了有三个参量的坐标点，这就对平面上的点建立了一个新的坐标体系。    [color=blue]例2.1：求点（1,2）在新的坐标体系下的坐标。    解：∵X/Z=1 ，Y/Z=2（Z≠0）∴X=Z，Y=2Z ∴坐标为（Z:2Z:Z），Z≠

6、0。即（1:2:1）（2:4:2）（1.2:2.4:1.2）等形如（Z:2Z:Z），Z≠0的坐标，都是（1,2）在新的坐标体系下的坐标。[/color]    我们也可以得到直线的方程aX+bY+cZ=0（想想为什么？提示：普通平面直角坐标系下直线一般方程是ax+by+c=0）。新的坐标体系能够表示无穷远点么？那要让我们先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识，我们知道无穷远点是两条平行直线的交点。那么，如何求两条直线的交点坐标？这是初中的知识，就是将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是： aX+bY+c1Z =0； aX+bY+

7、c2Z =0  (c1≠c2)； （为什么？提示：可以从斜率考虑，因为平行线斜率相同）；    将二方程联立，求解。有c2Z= c1Z= -（aX+bY），∵c1≠c2 ∴Z=0  ∴aX+bY=0； 所以无穷远点就是这种形式（X：Y：0）表示。注意，平常点Z≠0，无穷远点Z=0，因此无穷远直线对应的方程是Z=0。    [color=blue]例2.2：求平行线L1：X+2Y+3Z=0 与L2：X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。    解：因为L1∥L2 所以有Z=0， X+2Y=0；所以坐标为（-2Y:Y:0），Y≠0。即（-2:1

8、:0）（-4:2:0）（-2.4:1.2:0）等形如（-2Y:Y:0），Y≠0的坐标，都表示这个无穷远点。[/color]    看来这个新的坐标体系能够表示射影平面上所有的点，我们就把这个能够表示射影平面