005五年级奥数第5讲_数的整除性

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1、第5讲数的整除性（一）　　三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。　　数的整除性质主要有：　　（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。　　（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。　　（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。　　（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一

2、个。　　（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。　　灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。　　例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。　　分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。　　例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？　　分

3、析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节，2000÷5=400，就有400节，　　因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。　　例3现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？　　分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。　

4、　要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：　　（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除；　　（2）找出一个数能被6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除；　　（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。　　容易判断，这四个数都不能被12整除，所以第（1）种情况不存在。　　对于第（2）种情况，四个数中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶数，所以可以选76554和76550，76554和76552。　　对于第（3）种情况，四个数中

5、只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以选76552和76551，76552和76554。　　综合以上分析，去掉相同的，可知两个数的乘积能被12整除的有以下三组数：76550和76554，76552和76554，76551和76552。　　例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？　　分析与解：从题设的条件分析，对所求五位数有两个要求：　　①各数位上的数字之和等于43；　　②能被11整除。　　因为能被11整除的五位数很多，而各数位上的数字之和等于43的五位数较少，所以应选择①为突破口。有两种情况：

6、　　（1）五位数由一个7和四个9组成；　　（2）五位数由两个8和三个9组成。　　上面两种情况中的五位数能不能被11整除？9，8，7如何摆放呢？根据被11整除的数的特征，如果奇数位数字之和是27，偶数位数字之和是16，那么差是11，就能被11整除。满足这些要求的五位数是：97999，99979，98989。　　例5能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？　　分析与解：10个数排成一行的方法很多，逐一试验显然行不通。我们采用反证法。　　假设题目的要求能实现。那么由题意，从前到后每两个数一组共有5组，每组的两数之和都能被3整除

7、，推知1～10的和也应能被3整除。实际上，1～10的和等于55，不能被3整除。这个矛盾说明假设不成立，所以题目的要求不能实现。　　　  练习5　　1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？　　2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？　　3.173□是个四位数。数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可以被9，11，6整除。”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？　　　　班有多少名学生？　　6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之

8、和都能被3整除？ 第6讲数的整除性（二）　　我们先看一个特殊的数——1001。因为1001=7