小学奥数系列——行程问题习题及详解

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1、行程问题  行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一（计算、数论、几何、行程）。具体题型变化多样，形成10多种题型，都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下，希望各位看过之后给予更加明确的分类。一般行程问题相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和行程问题几大题型追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差“火车过桥问题”“流水行船问题”“钟表问题”行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，基本数量关系如下：速度×时间=路程；

2、路程÷时间=速度；路程÷速度=时间。注意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程÷总时间，而不是两个（或几个）速度相加再除以2。行程问题涉及的变化较多，有的涉及一个物体的运动，有的涉及两个物体的运动，有的涉及多个物体的运动。涉及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题和领先问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。但归纳起来，不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，他们的特点是一样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相同的，都可以归

3、纳为：速度×时间=路程（路程÷时间=速度，路程÷速度=时间）。在各类行程问题中进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简单”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用；此类问题的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗”，希望学习者能深入理解其中包含的数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和。相背而行

4、的公式：相背距离=速度和×时间。追及问题的公式：速度慢的在前，快的在后。追及时间=追及距离÷速度差。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。追及距离=速度差×时间（例如求环形跑道的长度）。追及距离÷时间=速度差，追及距离÷速度差=时间。“火车过桥问题”、“流水行船问题”、用行程问题结合图形知识解答的“钟表问题”是几类较特殊的行程问题，在解题时更要注意具体问题具体分析。要正确的解答有关"行程问题”28的应用题，必须弄清物体运动的具体情况。如运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同时，不同时），出发的地点（同地，不同地），运

5、动的路线（封闭，不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、交错而过、追及）。　　两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体“相向运动”或“相背运动”时，此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”（简称速度和），当两个物体“同向运动”时，此时两个物体的追及的速度就变为了“两个物体运动速度的差”（简称速度差）。当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和逆风跑；船在河中顺水而下和逆水而上。此时人在顺风跑时运动的速度就应该等于人本身运动的速度加上风的速度，人在逆风跑时运动的速度就应该等于人本身的速

6、度减去风的速度；我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度会发现，顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度；同样比较“顺水而下”与“逆流而上”，两个速度之间也相差着两个“水流的速度”。所谓“逆水行舟，不进则退”就是这个道理。1、相遇问题和相离问题：（1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向而行”，注意关键词“相向”，如果两物体同时出发，相遇时所用时间一定相同，注意对速度和的理解图示:甲乙甲从A地出发乙从B地出发关系式：相遇时间=总路程÷速度和总路程=速度和×相遇时间典型例题：<1>两港相距168千米，一艘客轮和一艘货轮同时从两

7、港相对开出，客轮每小时行24千米，货轮每小时行18千米，几小时后两艘轮船相距21千米？<2>甲乙两车同时从东西两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行52千米，两车在离中点16千米处相遇。东西两地相距多少千米？<3>A、B两地相距470千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时40千米的速度先后从两地出发，相向而行。相遇时甲车行驶了230千米。问：乙车比甲车早出发几小时？<4>甲、乙两车的速度比是3：4，两车同时从两地相向而行，在离中点6千米处相遇，求两地相距多少千米？解法（一）：由题意可知，甲乙两车同时开出后，路程比

8、成正比例，总是等于速度比，设两地间路程的一半为X，则=，解比例得X=42，42×2=84千米即为两地间的距离。6千米解法（二）：甲乙28中点从线段图上我们可以看出，相遇时，甲差6千米到达中点，乙已经过了中点6千米，甲和乙的路程差是6千米的两倍，如果将两地间距离成看成3+4=7“份”的话，相