用射影面积法求二面角在高考中的妙用

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1、.WORD.格式.用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现.求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理已知平面内一个多边形的面积为S，它在平面内的射影图形的面积为，平面和平面所成的二面角的大小为，则.ABDC本文仅对

2、多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证.证明：如图，平面内的△ABC在平面的射影为△，作于D，连结AD.于，，在内的射影为.又，（三垂线定理的逆定理）.为二面角—BC—的平面角.设△ABC和△的面积分别为S和，，则..ABD1C1DCA1B1E典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用.例1如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是AA1棱的中点，则面BEC1与面AC所成的二面角的大小为()A.B.C.D.解：连结AC，则△在面AC内的射影是△ABC，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.ABD1C1DC

3、A1B1E设正方体的棱长为2，则AB=BC=2，ABDCSBMBD.故答案选D.例2（04北京）如图,已知四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形,SD⊥面AC,SB=.(1)求证:BC⊥SC;(2)求面ASD与面BSC所成的二面角的大小;(3)设棱SA的中点为M,求异面直线DM与SB所成的角的大小.（1）证明：SD⊥面AC，SC在面AC内的射影是SD.又四边形ABCD是正方形，面AC，BC⊥SC（三垂线定理）.专业整理资料分享.WORD.格式.（2）解：SD⊥面AC，面AC，.又四边形ABCD是正方形，.而，CD⊥面ASD.又

4、AB∥CD，BA⊥面ASD.ABDCSBMBDE△SBC在面SAD的射影是△SAD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为..故.所以面ASD与面BSC所成的二面角的大小为.（3）解：取AB的中点E，连结DE、ME.，ME∥SB.异面直线DM与SB所成的角就是，设.ABDCSBMBD，..故.所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.解法二：面SAD，SB在面SAD内的射影是SA.DAMCBEF又.而面SAD，（三垂线定理）.所以异面直线DM与SB所成的角的大小为.例3（04浙江）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相

5、垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：面AE⊥平面BDF；DAMCBEFO(3)求二面角A—DF—B的大小.证明：（1）设，则，连结OE.四边形ACEF是矩形，，，EM∥AO.四边形AOEM是平行四边形，从而AM∥EO.又平面BDE，AM∥平面BDE.（2）四边形ABCD是正方形，.又正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，面BD面AE=AC，，从而.而，.平面BDF，面AE⊥平面BDF.专业整理资料分享.WORD.格式.（3）解：，.△BDF在面ADF上的射影是△ADF，

6、设它们的面积分别为S和，所成的二面角为.AB=，AF=1，.DAMCBEFO连结FO，则.故.所以二面角A—DF—B的大小为.例4（08天津）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩PADBC形，已知AB=3，AD=2，PA=2，.（1）证明：AD⊥平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（3）求二面角P—BD—A的大小.（1）证明：.，即.又四边形ABCD是正方形，.而，AB、PA面PAB，AD⊥平面PAB.（2）AD∥BC，异面直线PC与AD所成的角就是PC与BC所成的角，即.在△PAB中，AB=3，PA=

7、2，，PADBCE.由（1）得，AD⊥平面PAB.，即.又BC=AD=2，..所以异面直线PC与AD所成的角的大小为.（3）作于E，连结DE.由（1）知，，而，面ABCD.△PBD在面ABCD内的射影是△EBD，设它们的面积分别为S和，所成的二面角为....，.专业整理资料分享.WORD.格式.所以二面角P—BD—A的大小为.点评：例1和例2中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用射影面积法则是化繁为简，曲径

8、通幽！VDCAB金指点睛1.（05全国Ⅲ）如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.（1）证明：AB⊥平面VAD；（2）求面VAD与面VDB所成二面角的大小.CBADE2.（06全国Ⅱ）如图