chragedparticlesinmagneticfields和中心势场

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1、第七章ChragedparticlesinMagneticFields和中心势场7.1CouplingtotheElectromagneticField7.2TheHydrogenAtom7.3TheSpectrumofHydrogenAtoms7.4CurrentintheHydrogenAtoms7.5TheMagneticMoment7.1CouplingtotheElectromagneticField电量为e的带电粒子在电磁场中运动,在经典力学中，H为电场力和磁场强度可以用相应的势能来表示式中，在经典力学中，带电粒子的运动由哈密顿函数描述为（1）（2）

2、（3）所受的洛伦兹力为由此看出，在哈密顿量中，正则动量p由p-(e/c)A代替，规范gauge不变性，我们将它称为minimalcoupling。哈密顿量的正则动量P（canonicalmomentum）是动量mv和(e/c)A之和。.将正则动量p用-iħ代替，根据坐标表象的量子化规则，得到哈密顿量（4）（5）计算平方，注意梯度和矢量势能不对易，得到（6）A和ф不是唯一的，而是规范相关的,特别是在库仑规范中.利用电磁场的横波条件,成立.应用动量算符的等式-iħ（7）H0表示粒子在电磁场中运动的哈密顿量。粒子与电场的耦合由A·P来表示。当场强较小时，第三项可略

3、去。如果A描述的是一个平面电磁波，上式中的耦合项将发生辐射跃迁（发射和吸收）。那么，粒子在电磁场中的态由薛定谔方程的解给出。（8）Ehrenfest’sTheorem对薛定谔方程也具有规范不变性.下面我们将予以证明.规范不变性意味着:如果我们进行下面的势和变换.薛定谔方程的解描述的是同一个物理态f(r,t)是任意函数.通过引入矢量及其四分量之间的关联式（9）（10）x1=x,x2=y,x3=z,x4=ict如果我们用H’表示最初的哈密顿势，即（11）Ψ和ψ’只是相因子不同。如果规范变换并不改变物理量，在Ψ＊Ψ乘积中，只是相因子消失了。（12）代入到（11）式中，

4、（13）（14）（15）再应用一次算符，我们得到这说明了通过规范变换，薛定谔方程（10）式的解仍然描述了同一个物理量。态ψn和ψ’n只是相因子exp[(ie/ħc)f(r,t)]不同。由于物理观测量不受相因子的影响。显然，不是正则动量－iħ（其表观值不是规范不变的）,而是真正的动力学动量mv-iħ-(e/c)A（规范不变性）代表了观测量。这样，在物理问题中，如果存在电磁场，出现动量算符算符总是由－(e/c)A来代替。这是量子力学保持规范不变性的唯一的途径。然而，将势A和由量子力学来确定的话是不可能的。下面我们对量子力学中的规范不变性基本思想进行总结。电

5、磁场Aµ(xµ)的规范变换为在这已经脱离了电磁观测量，即电场和磁场不发生变化。四动量算符为（16）（17）最小耦合通过下列替换实现（18）在量子力学中，规范变换（16）必须由波函数的相变换来补充（19）（20）那么成立。我们可以确定，通过规范变换，上述观测量是不变的。对μ＝4，可取1，2，3（20）式的右边正好等于（13）的右边。（22）（21）TheHydrogenatom中心势场在氢原子中，电子和质子相互吸引，吸引力为e2/r2,相应的势为e2/r，r为相对运动的坐标。我们选择质子为坐标系统的中心，质量m为电子的折合质量（reducedmass）（23）由于

6、为中心势，我们采用球对称坐标，则定态薛定谔方程为（24）动量算符的平方为根据P77页角动量算符在球坐标系中的表示（24a）（24b）分成了径向部分和与角动量部分相关的转动部分，从而可以分离变量代入(24b)等式两边同乘以如r3／R(r)两边同乘以R(r)/r2,得由于能量E值出现在径向部分，找到能谱，只需求解径向部分。对于球谐函数，能量只依赖于波函数的径向部分。由归一化由球谐函数的分离性和正交性，我们只需确定束缚态（bound)，它的能量本征值取负值。(1)当r0，角动量项取决定作用设R(r)可由幂级数展开，并略去高次项，代入上式得该方程的解为α＝l+1,α＝

7、-l,当α＝-l，为三维谐振子（oscillator）,α＝l+1,其解也一样。(2)当r，角动量项取决定作用为了方便，做替换由于束缚态能量必须去负值，上式的解设为由于当r，第二项趋于无穷大，我们取掉第二项，取试解代入与谐振子得出的方程非常相似，即Kummer’sdifferentialequation.P140页(18),divergent取掉总结中的第二项，得到归一化，导致能量量子化n称为主量子数,nr称为径向量子数。l称为角动量量子数.a0称为（Bohr）玻尔半径n=1,为氢原子的结合能（bindingenergy）氢原子的波函数为归一化常数为显然

8、,波函数的径向部分取决于