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1、上节问题幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数.问题:2.f(x)若能展开成幂级数,是什么?3.展开式是否唯一?1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?7.4幂级数的应用7.4.1泰勒级数定理7.14如果函数f(x)在x0的某一邻域内具有任意阶导数,的幂级数,则其系数且展开式是唯一的.且在内能展开成证即泰勒系数是唯一的,逐项求导任意次,得泰勒系数所以,f(x)的展开式唯一的.令x0=x0,即得则幂级数如果函数f(x)在内有任意阶导数,称为f(x)在点x0处的泰勒级数.特别地,当x0=0时,称幂级数为函数f(x)的麦克劳林级数.记为问题泰勒级数在收敛区间
2、是否收敛于f(x)?？其中介于x与x0之间.若函数f(x)在x0的某邻域内有n+1阶导数,则由泰勒公式:(1)(1)式对任意的n都成立定理7.15函数f(x)在点x0的泰勒级数,在x0的某邻域内收敛于f(x)的充分必要条件是:当f(x)在x0处有任意阶导数时,推理设函数f(x)在内有定义,使得恒有则f(x)在内可展开成点x0的泰勒级数.若1.直接展开法求函数f(x)的麦克劳林级数(2)写出泰勒级数并求出收敛半径R;7.4.2函数展开成幂级数则级数在收敛区间内收敛于f(x).(1)求(3)讨论解其收敛半径为因泰勒公式的余项(ξ介于0,x之间)它满足不等式
3、~例1将展开成x的幂级数.对任一确定的是处处收敛的幂级数的一般项.是确定的数,而所以在上恒有于是,有展开式或解或例2将展开成x的幂级数.且解例3将展开成x的幂级数.称为牛顿二项式展开式注:双阶乘当时,有利用已知函数展开式,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.2.间接展开法根据展开的唯一性,它与直接展开法得到的结果是一致的.例如,注:利用间接展开法时,要注意区间端点的收敛性.例4将展开为x的幂级数.解而两边积分例5将展开为x的幂级数.解解例6将的幂级数.解得展开区间例7将展开为的幂级数.例8将解解等式两端求导,得例9将于
4、是故例10将解常用已知和函数的幂级数解例11求数项级数的和.7.4.3幂级数在数值计算中的应用如果一个函数可以用幂级数表示,这种方法有两大突出优点:1.幂级数的前项和是多项式,对于数值计算而言是最简单的函数;2.截断误差容易估计和控制,可以根据对计算精度的不同要求选择计算的项数.取幂级数的前若干项和作为该函数的近似值.我们可以例12计算解其误差(也叫截断误差)为:而例13利用解其误差不超过误差.其误差为的近似值,并估计例14计算解由于x=0是的可去间断点,故定义则它在[0,1]上连续.展开有等式两端在[0,1]积分,得因为所以,取前三项作为积分的近似值
