《材料力学》压杆稳定

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1、压杆稳定材料力学构件的承载能力：①强度②刚度③稳定性工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。§9.1压杆稳定的概念稳定平衡与不稳定平衡：1.不稳定平衡2.稳定平衡压杆失稳试验图P1

2、扰，杆件将弯曲，干扰去掉后，杆件保持在微弯状态下的平衡，不再回到原来的直线平衡形式，我们说杆原来的直线平衡状态是不稳定的。P2=Pcr由稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态称为失稳。压杆失稳–––直线平衡状态改变为微弯平衡状态。P

3、态；当P=Pcr，杆处于微弯平衡状态；Pcr是杆件维持微弯平衡状态的最小压力。§9.2细长压杆的临界力求临界压力的思路：假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，从挠曲线入手，求此时的临界力。假定：杆件已发生微小弯曲变形(如图示)，yPcrPcrLx代入挠曲线近似微分方程，EIv=M=PcrvEIv+Pcrv=0–––二阶常系数齐次线性微分方程由平衡条件，易得：M(x)=Pcrv(x)v+k2v=0PcrxMxyvPcrLyxPcrPcr通解：v=C1sinkx+C2coskx边界条件：x=L：v(L)=

4、0v(0)=C1sin(k·0)+C2cos(k·0)=C2=0v=C1sinkxv(L)=C1sinkL=0x=0v(0)=0LyxPcrPcr∵C10否则v0与假设矛盾∴sinkL=0有：kL=nn=0，1，2，……LyxPcrPcr临界压力为维持微弯平衡状态的最小轴向压力–––欧拉公式杆件失稳–––由直线变成曲线–––(0xl)–––半个正弦波9.2.2常见各种杆端约束下细长杆的临界压力欧拉公式压杆的长度系数例求一端固定，一端自由细长杆的临界压力。由平衡条件M(x)=Pcr(v)代入挠曲线近似

5、微分方程EIv=M(x)=Pcr(v)MPcrLxxvyPcr∴EIv+Pcrv=Pcrv+k2v=k2通解为v=C1sinkx+C2coskx+边界条件:x=0：v'(0)=0x=L：v(L)=v(0)=C1sin(k·0)+C2cos(k·0)+=0x=0：v(0)=0LxxvyPcr∴C2+=0C2=v'(0)=kC1cos(k·0)kC2sin(k·0)=0∴kC1=0v'(x)=kC1coskxkC2sinkx∴C1=0v(x)=(1coskx)LxxvyPcrv(l)=

6、(1coskL)=n=0，1，2，……n=0，1，2，……(0xL)∵v(L)=0LxxvyPcrALB半个正弦波MA=MB=0MA=MA=0相当长为2L的两端简支杆对比：AALL个正弦波图形比拟：失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为0，故可设想此处有一铰，而将压杆在挠曲线上两个拐点间的一段看成为两端铰支的杆，利用两端铰支的临界压力公式，就可得到原支承条件下的临界压力公式。两拐点间的长度L称为原压杆的相当长度，即相当L这么长的两端铰支杆。两端固定L0.5LPcr一端固定，一端铰支两端固定PcrL0.7LPcrL

7、0.5L不同约束情况下，细长杆的临界压力欧拉公式可统一写成：：长度系数L：相当长度两端铰支=1一端固定，一端自由=2一端固定，一端铰支=0.7两端固定=0.5常见约束压杆长度系数及临界压力Pcr=2PcrL0.7L≈0.7PcrL0.5L=0.5L=1LPcr问题：压杆为空间实体，在轴向力作用下如果失稳，它朝哪个方向弯？y=f(x)yzxz=f(x)yxxz平面内弯xy平面内弯z绕z轴转动截面绕y轴转动临界压力公式中的I是对哪根轴的I？Pcr维持微弯平衡状态最小的压力各方向约束情况相同时：为常数

8、，I＝Imin–––最小形心主惯性矩各方向约束情况不同时：使Pcr最小的方向为实际弯曲方向，I为挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。朝哪个方向弯9.3.1临界应力柔度–––欧拉公式：柔度，长细比对细长杆§9.3欧拉公式的应用范围临界应力总图9.3.2欧拉公式的适用范围crp欧拉公式成立的条件：欧拉公式适用范围pQ235钢，E=20