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1、幂函数2017届数学组问题引入(1)如果回收旧报纸每公斤１元，某班每年卖旧报纸ｘ公斤，所得价钱ｙ是关于ｘ的函数(2)如果正方形的边长为ｘ，面积ｙ,这里ｙ是关于ｘ的函数;(3)如果正方体的边长为ｘ,正方体的体积为ｙ,这里ｙ是关于ｘ函数;(4)如果一个正方形场地的面积为ｘ,这个正方形的边长为ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数;(5)如果某人ｘ秒内骑车行驶了１ｋｍ,他骑车的平均速度是ｙ，这里ｙ是关于ｘ的函数.我们先看几个具体问题:１：以上各题目的函数关系分别是什么？２：以上问题中的函数具有什么共同特征？y=xα一、幂函数的定义注意1、幂函数
2、的解析式必须是y=xα的形式，同时满足“系数为1，底数是自变量x且指数为常数”.2、定义域与α的关系.一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.基本初等函数名称底数指数指数函数:y=ax幂函数:y=xαaxx幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看自变量x是指数还是底数幂函数指数函数α1.判断下列函数是否为幂函数.(1)y=2x(3)y=1(5)y=3x2(6)y=x3-22.若幂函数y=f(x)的图象过点,则函数的解析式为__________在同一平面直角坐标系内作出幂函数y=x，y
3、=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的图象.二、幂函数的图像及性质x-3-2-10123y=x29410149x-3-2-10123y=x3-27-8-101827x0124012x-3-2-1123-1/3-1/2-111/21/3(-∞,0)减(-∞,0]减(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)公共点(0,+∞)减增增[0,+∞)增增单调性奇非奇非偶奇偶奇奇偶性[0,+∞)R[0,+∞)R值域[0,+∞)ＲＲＲ定义域y=x-1y=x3y=x2y=x函数性质常见幂函数的性质在第一象限内,函数图象的变化趋势
4、与指数有什么关系?在第一象限内，当α>0时，图象随x增大而上升。当α<0时，图象随x增大而下降不管指数是多少,图象都经过哪个定点?在第一象限内，当α>0时，图象随x增大而上升。当α<0时，图象随x增大而下降。图象都经过点（1，1）α>0时,图象还都过点(0,0)点幂函数的性质:１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图象都通过点(1,1);幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式中α的不同而各异.３.如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数;α<0２.如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0
5、),(1,1)并在[0,+∞)上为增函数;α>10<α<1当α为偶数时，幂函数为偶函数4.当α为奇数时，幂函数为奇函数练习1:如果函数是幂函数且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m。练习2:如图所示，曲线是幂函数y=xk在第一象限内的图象，已知k分别取四个值，则相应图象依次为:________一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下(指大图高)，在y轴与直线x=1之间正好相反。例：利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8与5.30.8（2）-0.20.3与-0.30.3（3）0.83
6、.5与0.83.4（4）练习1）2）3）4）＜＜＞≤小结1、幂函数的定义2、幂函数的图像和性质形如y=xα（α为常数）的函数叫做幂函数．3、幂值比较在第一象限内α＞０时图象在(0,+∞)上为增函数；α＜０时图象在(0,+∞)上为减函数；过定点（１，１）（1）底数不同，指数相同，考虑幂函数；（2）底数相同，指数不同，考虑指数函数；（3）底数指数都不同，引入中间值。成功始于方法巩固才能提高
