复数与复变函数教学

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1、第一章复数与复变函数1.1复数及其运算1.2复平面上的曲线和区域1.3复变函数1.4复变函数的极限和连续性§1.1复数及其运算一、复数的概念1、产生背景的数称为复数，其中称为虚单位，2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。二、复数的表示法1、(复平面上的)点表示------用坐标平面上的点rθ此时的坐标面（称为复平面）与直角坐标平面的区别与联系。2、(复平面上的)向量表示-----（1）模——的长度，记为，则（2）辐角()——与轴正向的夹角(周期性)辐角主值:注其中主值的确定方法见教材P3（1.1.6）式或借助复数向量表示.3、三角（或极坐标）表

2、示---由得欧拉公式5、代数表示------复数的各种表示可相互转换在不同的运算中可选择不同表示式进行运算。NSPyzZx6*、复球面表示------将扩充复平面中的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。三、复数的运算1、相等——两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）——代数式、三角式、指数式3、共轭复数及运算性质zzyxo四、复数的n次方根的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周称为主值。答疑解惑答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不

3、能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0和i加以讨论：1、复数能否比较大小，为什么？注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？答：有相同之处，但也有不同之处。加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。典型例题例1、判断下列命题是否正确？（1）（2）（3）（×）（∨）（×）例2、求下列复数的模与辐角（1）（2）（3）（4）解（

4、1）（2）（3）(4)例3、求满足下列条件的复数z：（1）（3）（2）且例4求方程的根。并将分解因式。解∵，则的其余三个根即为所求得由§1.2复平面上的曲线和区域一、复平面上的曲线方程平面曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式。由代入知曲线C的方程可改写成复数形式若令，而，则曲线C的参数方程等价于复数形式。二、简单曲线与光滑曲线三、区域1、去心邻域3、区域及分类2、内点与开集区域——连通的开集。属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。注：①闭区域，它不是区域。②任意一条简单闭曲线C把复平面分为三个不相交的点集：有界区域称为C的内部；无

5、界区域，称为C的外部；C，称为内部与外部的边界。（典型例题见教材例1.2.1，例1.2.2）§1.3复变函数一、复变函数的概念1、定义——对于集合G中给定的，总有一个（或几个）确定的复数与之对应，并称G为定义集合，而称为函数值集合(值域).分类——2、复变函数与实函数的关系讨论一个复变函数研究两个实二元函数3、复变函数的单值性讨论教材P12（例1.3.2)是否为单值函数令则均为单值的实二元函数是单值函数。故教材(例1.3.3）是单值函数吗？，均为多值的实二元函数方法二、见教材二、映射复变函数的几何图形表示函数在几何上可以看着是把z平面上的一个点集G（定义域）

6、变到w平面上的一个点集G*（值域）的一个映射（或映照）。与G中的点为一一对应映射为双射典型例题例1、求z平面上的下列图形在映射下的象。解(1)乘法的模与辐角定理Howcomplextheexpressionare!uv4i图a虚轴上从点0到4i的一段（见图a）。(1)记，则即w平面内4图b（3）见教材例1.3.4（3）映为（4）将直线建立所满足的象曲线方程，消，是以原点为焦点，开口向左的抛物线（见图c1)vu图c12其是以原点为焦点，开口向右的抛物线（见图c2）。将线映为，消x得例2、求下列曲线在映射下的象解法一（1）消x,y建立u,v所满足的象曲线方程或由

7、两个实二元函数反解解得x=x(u,v),y=y(u,v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程（2）代入原象曲线方程，得w平面内的一条直线。解法二代入原象方程得化为实方程形式（2）留作练习。§1.4复变函数的极限和连续性本章难点与重点注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数；几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射；代数中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。在复变函数中，不再区分函数、映射和变换，将其统一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。