导数在函数中的应

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1、考纲要求考纲研读1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).1.用导数可求函数的单调区间或以单调区间为载体求参数的范围．2．某点的导数值为零是该点为极值点的必要不充分条件，能利用极值点处的导数值为零求参数的值.第2讲导数在函数中的应用1．函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a

2、，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内__________；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内___________．单调递增单调递减2．判别f(x0)是极大、极小值的方法若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的_______点，f(x0)是_______；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的______点，f(x0)是______．极大值极大值极小值极小值1．f(x

3、)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4C)D2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)x2＋a3．若函数f(x)＝x＋1在x＝1处取极值，则a＝___.34．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋16的单调减区间为________．5．(2011届北京海淀区联考)函数f(x)＝lnx－2x的极值点为___.(－1,11)考点1讨论函数的单调性例1：设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相

4、切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．解题思路：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a，∵曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，(2)∵f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题的a＝4用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．【互动探究】1．(2011届广东台州中学联考)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图

5、象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是()D考点2导数与函数的极值和最大(小）值(1)先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题．【互动探究】22．(2011年广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__处取得极小值．考点3利用导数解决函数中的恒成立问题(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式；(2)

6、讨论函数f(x)的单调性；立，求b的取值范围．【互动探究】(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0

7、0，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.1．求函数的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．2．求函数最值的步骤(1)求出f(x)在(a，b)上的极值；(2)求出端点函数值f(a)，f(b)；(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值

8、．1．求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯