高等数学不定积分例题、思路和答案

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1、第4章不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设，，若存在函数，使得对任意均有或，则称为的一个原函数。的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，则。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1：或；性质2：或；性质3：，为非零常数。计算方法第一换元积分法（凑微分法）设的原函数为，可导，则有换元公式：第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零，有原函数，则分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知---

2、求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！课后习题全解习题4-41、求下列不定积分38知识点：有理函数积分法的练习。思路分析：被积函数为有理函数的形式时，要区分被积函数为有理真分式还是有理假分式，若是假分式，通常将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的

3、形式，然后再具体问题具体分析。★(1)思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。解：★★★(2)思路：被积函数为假分式，先将被积函数分解为一个整式加上一个真分式的形式，然后分项积分。解：而令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解此方程组得：★★★(3)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：，令等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：38解此方程组得：★★★(4)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：，解此方程组得：。★★★(5)38思路：将被积函数裂项后分

4、项积分。解：，令等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解此方程组得：。★★★(6)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：；令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解此方程组得：38★★★(7)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解此方程组得：而★★★(8)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：38又由分部积分法可知：★★★(9)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：而★★★(10)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子

5、的同次项的系数得：38；解之得：。★★★(11)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：★★★(12)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：，解之得：38★★★★★(13)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：38注：由导数的性质可证本题的另一种解法：38注：由导数的性质可证。★★★★★(14)思路：将被积函数裂项后分项积分。解：38又注：本题再推到过程中用到如下性质：（本性质可由分部积分法导出。）若记，其

6、中为正整数，，则必有：。1、求下列不定积分知识点：三角有理函数积分和简单的无理函数积分法的练习。思路分析：求这两种积分的基本思路都是通过适当的变换化为有理函数积分去完成。★★(1)思路：分子分母同除以变为后凑微分。解：★★(2)思路：万能代换！解：令，则注：另一种解法是：38★★(3)思路：万能代换！解：令，则★★(4)思路：利用变换！（万能代换也可，但较繁！）解：令，则★★(5)思路：万能代换！38解：令，则★★(6)思路：万能代换！解：令，则而★★★★(7)思路一：万能代换！解：令，则而，38令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：思路

7、二：利用代换！解：令，则令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得:38注：比较上述两解法可以看出应用万能代换对某些题目可能并不简单！★★★★(8)思路：将被积函数分项得，对两个不定积分分别利用代换和万能代换！解：对积分，令，则令，等式右边通分后比较两边分子的同次项的系数得：解之得：38对积分，令★★(9)思路：变无理式为有理式，变量替换。解：令则★★(10)思路：变无理式为有理式，变量替换。解：令★★(11)思路：变无理式为有理式，变量替换。解：令38★★★(12)思路：变无理式为有理式，变量替换。解：令★★★(13)思路：变无理式为有理式，

8、三角换元。解：令★★★(14)思路：将被积函数变形为后，三角换元。