资源描述：
《矩阵论(徐仲)简明教程习题答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、习题一2221.设λ为的任一特征值,则因λ−2λ为A−2A=O的特征值,故λ−2λ=0.即λ=0或2.−1−12.A～B,C～D时,分别存在可逆矩阵P和Q,使得PAP=B,QCQ=D.令⎛PO⎞T=⎜⎟⎜⎟⎝OQ⎠−1−1⎛AO⎞⎛PO⎞⎛AO⎞⎛PO⎞⎛BO⎞则T是可逆矩阵,且T⎜⎜⎟⎟T=⎜⎜−1⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟=⎜⎜⎟⎟⎝OC⎠⎝OQ⎠⎝OC⎠⎝OQ⎠⎝OD⎠−1−13.设x是对应于特征值λ的特征向量,则Ax=λx,用A左乘得x=λAx.即iiiiiiii−1−1Axi=λixi−1故λ是A
2、的特征值,i=1,2,⋯,n.i⎛−412⎞⎛−1⎞⎜⎟⎜⎟−14.(1)可以.λE−A=(λ−1)(λ+1)(λ−2),P=⎜−300⎟,PAP=⎜1⎟.⎜⎟⎜⎟⎝401⎠⎝2⎠⎛010⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟−1(2)不可以.(3)P=⎜101⎟,PAP=⎜2⎟.⎜⎟⎜⎟⎝011⎠⎝1⎠25.(1)A的特征值是0,1,2.故A=－(b－a)=0.从而b=a.又λ−1−a−122λI−A=−aλ−1−a=−λ(λ−3λ−2a+2)将λ=1,2代入上式求得A=0.−1−aλ−1⎛−101⎞⎜⎟(2)P=⎜01
3、0⎟.⎜⎟⎝101⎠26.λI−A=(λ−2)(λ+1),A有特征值2,2,－1.⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟λ=2所对应的方程组(2I－A)x=0有解向量p1=⎜4⎟,p2=⎜0⎟⎜⎟⎜⎟⎝0⎠⎝4⎠⎛1⎞⎜⎟λ=－1所对应的方程组(I+A)x=0有解向量p3=⎜0⎟⎜⎟⎝0⎠⎛111⎞⎛030⎞⎜⎟1⎜⎟−1令P=(p1,p2,p3)=⎜400⎟,则P=⎜−414⎟.于是有12⎜⎟⎜⎟⎝041⎠⎝16−4−4⎠100100100100⎛2⎞⎛4−22−12−1⎞⎜⎟1⎜⎟100100−1100A=P⎜2⎟
4、P=⎜03⋅20⎟.⎜⎟3⎜100100100⎟14−4⋅22−14⋅2−1⎝⎠⎝⎠1−1−127．(1)λI−A=λ(λ+1)=D(λ),λI－A有2阶子式=λ－43λ−21−172λ－4不是D(λ)的因子,所以D(λ)=D(λ)=1,A的初等因子为λ－1,λ.A的Jordan321⎛−100⎞⎧Ap1=−p1⎜⎟⎪标准形为J=⎜001⎟设A的相似变换矩阵为P=(p1,p2,p3),则由AP=PJ得⎨Ap2=0解⎜⎟⎪⎝000⎠⎩Ap3=p2⎛−11−1⎞⎜⎟出P=⎜−1−3−2⎟;⎜⎟⎝142⎠⎛
5、110⎞⎜⎟2(2)因为D3(λ)=(λ−1)(λ−2),D2(λ)=D1(λ)=1，故A～J=⎜010⎟⎜⎟⎝002⎠⎧Ap1=p1⎛−308⎞⎪⎜⎟设变换矩阵为P=(p1,p2,p3),则⎨Ap2=p1+p2⇒P=⎜−315⎟⎪⎜⎟⎩Ap3=2p3⎝20−5⎠2(3)D3(λ)=λI−A=(λ+1)(λ−2),D2(λ)=λ+1,D1(λ)=1.A的不变因子是⎛−1⎞⎜⎟d1=1,d2=λ+1,d3=(λ+1)(λ−2)A～J=⎜−1⎟⎜⎟⎝2⎠因为A可对角化，可分别求出特征值－1，2所对应的三个
6、线性无关的特征向量：⎛−1⎞⎛−2⎞⎜⎟⎜⎟当λ=－1时，解方程组(I+A)x=0,求得两个线性无关的特征向p1=⎜0⎟,p2=⎜1⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝0⎠⎛−2⎞⎛−1−2−2⎞⎜⎟⎜⎟当λ=2时，解方程组(2I−A)x=0,得p3=⎜1⎟,P=⎜011⎟⎜⎟⎜⎟⎝1⎠⎝101⎠⎛λ+12−6⎞⎛1⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟(4)因λI−A=⎜1λ−3⎟～⎜λ−1⎟,故A～J=⎜11⎟⎜11λ−4⎟⎜(λ−1)2⎟⎜01⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎧Ap1=p1⎪设变换矩阵为P=(p1,p2,p3),则⎨Ap2=p2⎪⎩
7、Ap3=p2+p3⎛−s+3t⎞⎛−1⎞⎜⎟⎜⎟p1,p2是线性方程组(I−A)x=0的解向量，此方程仴的一般解形为p=⎜s⎟取p1=⎜1⎟,⎜⎟⎜⎟⎝t⎠⎝0⎠⎛3⎞⎜⎟p2=⎜0⎟为求滿足方程(I−A)p3=−p2的解向量p3,再取p2=p,根据⎜⎟⎝1⎠2⎛22−6s−3t⎞⎛11−3−s⎞⎜⎟⎜⎟⎜11−3−s⎟～⎜0003s−3t⎟⎜⎟⎜⎟⎝11−3−t⎠⎝000s−t⎠T由此可得s=t,从而向量p=(x,x,x)的坐标应満足方程x+x−3x=−s3123123⎛−13−1⎞⎜⎟T取p3=(
8、−1,0,0),最后得P=⎜100⎟⎜⎟⎝010⎠854238.设f(λ)=2λ−3λ+λ+λ−4.A的最小多项式为m(λ)=λ−2λ+1,作带余除法得fA5322(λ)=(2λ+4λ−5λ+9λ−14),m(λ)+24λ−37λ+10,于是A⎛−348−26⎞⎜⎟2f(A)=24A−37A+10I=⎜095−61⎟.⎜⎟⎝0−6134⎠24329.A的最小多项式为mA(λ)=λ−6λ+7,设f(λ)=2λ−12λ+19λ−29λ+37,则1⎛71⎞2−
