信号和系统的频域分析

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1、第2章信号和系统的频域分析2.1引言2.2序列的傅里叶变换2.3周期序列的离散傅里叶级数2.4时域离散信号的FT与模拟信号的FT的关系2.5序列的Z变换2.6利用Z变换分析信号和系统的频域特性2.1引言我们知道信号和系统的分析方法有两种：时域分析方法，频率分析方法。时域分析方法相当于用肉眼直接看水，频域分析方法相当于用化学分析方法间接看水。时域分析频域分析f(t)F(Ω)x(n)X(ejω)在模拟领域：系统用微分方程、拉普拉斯变换和傅里叶变换描述。在离散领域：系统用差分方程？、Z变换？和傅里叶变换？描述。连续信号和系统的离散信号和系统的频域分析频域分析2.2序列的傅里叶变换

2、的定义及性质2.2.1序列傅里叶变换的定义FT[x(n)]=IFT[X(ejω)]=x(n)=序列的傅里叶变换序列的傅里叶反变换例2.2.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT。解：设N=4，X(ω)的幅度与相位随ω变化曲线如图2.2.1所示。注意观察它的周期性？。图2.2.1R4(n)的频谱的幅度与相位曲线2.2.2序列傅里叶变换的性质1.FT的周期性在定义(2.2.1)式中，n取整数，因此下式成立M为整数(2.2.6)它说明序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。在ω=0和ω=2πM附近的频谱分布是相同的。在ω=0，±2π，±4π，···点上表示信号x(n)

3、的直流分量，在ω=±π，±3π，±5π，···点上表示信号x(n)的高频分量？。例如：信号x(n)=cos(ωn)，当ω=2πM时它没有变化，当ω=2πM+π时它变化最快，用图表示如图2.2.2。图2.2.2cos（ωn）的波形2.FT的线性那么设式中a,b为常数。3.FT的时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］，那么证明方法：令l=n-n0(2.2.7)(2.2.8)(2.2.9)例2.2.2试分析x(n)=ejωn的对称性解：将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：x*(-n)=ejωn因此x(n)=x*(-n)，满足(2.2.10)式，x(n)是共轭对称序列，如展

4、成实部与虚部，得到x(n)=cos(ωnJ)+jsin(ωn)由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即x(n)=xe(n)+xo(n)(2.2.16)式中xe(n)和xo(n)可以分别用原序列x(n)求出：(2.2.18)(2.2.19)对于频域函数X(ejω)也有和上面类似的概念和结论：X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)(2.2.10)共轭对称部分Xe(ejω)=Xe*(e-jω)(2.2.21)共轭反对称部分Xo(ejω)=-Xo*(e-jω)(2.2.22)(2..23)(2.2.24)对称性

5、(a)若x(n)=xr(n)+jxi(n)，对该式进行FT，得到xr(n)→Xe(ejω)jxi(n)→Xo(ejω)(b)若x(n)=xe(n)+xo(n)，对该式进行FT，得到xe(n)→XR(ejω)xo(n)→jXI(ejω)用途：加快DFT，节约计算机资源x(n)→X(ω)=x1+jx2→=X1+jX2X1=Xe=(X(ω)+X*(-ω))/2X2=-jXo=-j(X(ω)-X*(-ω))/25.FT的时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),则Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)(2.2.32)6.FT的频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)(2.2.

6、33)则2.3周期序列的离散傅里叶级数定义设是以N为周期的周期序列,则离散傅里叶级数为物理意义周期序列可以分解成虚指数序列（俗称谐波分量，简称谐波）的线性组合。指数的表示谐波经过单位序号所转过的角度，所以是谐波的角频率，简称数字角频率。X(k)表示各次谐波的幅度和初始相角，简称频谱。因为计算机处理FT的正反变换同用一个程序，所以时域和频域的点数相同。例2.3.1设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期，进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，周期为8，求的DFS。解：按照定义例2.3.1图习题2的解：1建立数学模型FT的反变换表达式为x(n)=因为MA

7、TLAB是做数值计算的，所以改写表达式x(n)=写成MATLAB程序DSP7.mclear,N=200;%0到pi的频分点数dw=pi/N;w=[1:N]*dw;%角频率的间隔X=[ones(1,N/2),zeros(1,N/2)]*pi;%给出频谱函数ln=200;%给出序列的正长度n=0:ln;%给出序列的正序号x=X*exp(j*w‘*n)*dw/pi;%求X(w)的傅里叶反变换subplot(2,1,1),plot(w,X),gridtitle('频谱X(w)的波形图')xlabel(‘w/弧度'),yla